2.2.5. Устойчивость фильтров. Первый критерий устойчивости
Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале 
выходной сигнал 
также остается ограниченным, т. е. из условия 
при всех 
следует, что
причем 
— константы, не зависящие от 
Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда устойчив.
Условие (2.9) неудобно использовать для проверки устойчивости рекурсивных фильтров. Первый критерий устойчивости РФ, удобный для практической проверки, формулируется следующим образом 
если передаточная функция фильтра представляет собой несократимую дробь, то для устойчивости фильтра необходимо и достаточно выполнение условия
где 
— полюс (корень знаменателя) функции 
, т. е. все полюсы должны лежать внутри единичной окружности на 
-плоскости (рис. 2.8); 
Пример 2.8. а) 
полюс 
(см. рис. 2.8); 
фильтр устойчив.
полюс 
(см. рис. 2.8); 
фильтр неустойчив;
полюсы 
(см. рис. 2.8); 
фильтр устойчив;
полюсы 
(см. рис. 2.8); 
фильтр неустойчив;
Так как 
фильтр устойчив.
Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно выходной сигнал перестает зависеть от входного. Он работоспособен и практически используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Например, цифровой интегратор с передаточной функцией 
(эта функция имеет полюс 
т. е. фильтр неустойчив) вполне работоспособен, если входной сигнал 
действует при 
после чего следует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые начальные условия.
Рис. 2.8
