4.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ

4.3.1. Классификация методов

Методы решения тесно связаны с принятыми критериями аппроксимации. В зависимости от использованного критерия их можно разбить на три группы. Первая группа соответствует среднеквадратическому критерию, вторая — наилучшему равномерному (чебышевскому) критерию и третья — иным критериям аппроксимации. Первая группа включает методы разложения в ряд Фурье и наименьших квадратов, вторая — алгоритм Ремеза и некоторые другие сравнительно редко используемые алгоритмы. Методы последней группы [1.6, 4.4] относительно редко используются при проектировании фильтров и поэтому ниже не рассматриваются.

4.3.2. Разложение в ряд Фурье аппроксимируемой функции

Этот метод применим для расчета коэффициентов фильтров с линейной ФЧХ и решения второй задачи для минимально-фазовых фильтров. Если аппроксимирующая функция имеет вид (4.7), причем или то можно принять

где при при Функция должна быть определена при всех значениях до, т. е. доопределена в промежуточной полосе от до Для того чтобы исключить явление Гиббса [4.5], обусловливающее неустранимую погрешность аппроксимации, достаточно, чтобы после доопределения функция была непрерывна при всех значениях до.

Пример 4.5. Рассчитать коэффициенты двух ФНЧ с линейной ФЧХ (см. пример 4.4): при (равнополосные фильтры). Рассчитать АЧХ каждого из фильтров для 5 равноотстоящих значений та», начиная с при шаге

Доопределяя в промежуточной полосе:

и учитывая, что из (4.23) получаем:

В табл. 4.1 приведены значения коэффициентов фильтров, в табл. 4.2 — значения АЧХ фильтров.

Таблица 4.1 (см. скан)

Таблица 4.2 (см. скан)