4.2. ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ

4.2.1. Требования к аппроксимируемой функции. Критерии аппроксимации

Целью решения аппроксимационной задачи является определение коэффициентов передаточной функции фильтра. Аппроксимирующая функция должна удовлетворять следующим требованиям:

вектор с должен быть связан простой зависимостью с вектором коэффициентов

функция должна достаточно просто зависеть от вектора с;

при заданных значениях должно выполняться (4.6).

Наиболее простой и удобной для решения задачи аппроксимации является линейная зависимость функции от вектора с:

Существуют два основных критерия аппроксимации, уточняющие смысл (4.6): среднеквадратический критерий

и наилучший равномерный (чебышевский) критерий

Критерии (4.8) и (4.9) могут применяться совместно — каждый для определенной области частот. Выбор критерия аппроксимации определяется физическим смыслом задачи.

Общий принцип определения значений весовой функции состоит в следующем: чем точнее должно выполняться (4.6) при тем больше должно быть значение При использовании критерия (4.9) для отдельных подынтервалов частот задаются значения такие, чтобы на этих подынтервалах выполнялось неравенство

Тогда для подынтервала

где — произвольная константа (нормирующий множитель), общая для всех подынтервалов.

Пример 4.3. Пусть при использовании критерия Примем тогда

В соответствии с (4.9) и (4.11) определяется оптимальная функция , удовлетворяющая (4.10).

Критерий оптимальности формулируется следующим образом [4.2]: пусть в соответствии с (4.9) и (4.11) построены функции порядка порядка К [см. (4.7)], при этом удовлетворяет (4.10), - нет. Тогда не существует функции порядка, меньшего К, удовлетворяющей (4.10), т. е. построенная функция среди всех функций , удовлетворяющих (4.10), имеет наименьший порядок и .

Соотношение (4.11) можно использовать совместно с (4.8). Однако в этом случае (4.11) следует рассматривать лишь как эвристическую рекомендацию. Иногда требования к функции задаются в следующей форме:

В этом случае [2.11] следует принять:

и определять оптимальную функцию в соответствии со сформулированным выше критерием оптимальности.