4.3.6. Решение чебышевской аппроксимационной задачи для минимально-фазового фильтра

Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ минимального порядка по заданной АЧХ (см. 4.2.5, задача 2), причем заданы условия типа (4.10):

Точный алгоритм решения сводится к следующему:

1. Необходимо построить оптимальную функцию удовлетворяющую отношениям:

где

Каждая функция последовательности, которую следует построить для определения (см. 4.3.5), строится как функция наилучшего равномерного приближения к аппроксимируемой функции

с весовой функцией

Ориентировочная оценка величины начального порядка функции (см. пример 4.9) может быть получена с помощью (4.29), причем и

2. Строится функция не имеющая вещественных корней. Величина при .

3. По коэффициентам строится функция [см.

4. Вычисляются корни функции

5. Строится функция корни которой совпадают с корнями лежащими внутри и на единичной окружности.

6. Строится передаточная функция искомого минимальио-фазового фильтра Коэффициент определяется из условия эквивалентного равенству Из последнего равенства и выражений для следует, что

Пример 4.10. Пусть требуется построить минимально-фазовый ФНЧ наименьшего порядка которого удовлетворяет (4.30) при По формулам (4.33) находим: По формуле (4.29) определяем По формуле (4.31) определяем аппроксимируемую функцию:

По формуле (4.32) определяем весовую функцию

С помощью алгоритма Ремеза определяется . Для этого на ЭВМ ЕС 1022 были построены функции . В табл. 4.6 приведены значения коэффициентов функций , представленные по способу с «плавающей запятой» с округлением мантиссы до девяти разрядов (все вычисления в рассматриваемом примере выполнялись с удвоенной точностью и максимальных погрешностей аппроксимации (определение этих понятий см. в примере 4.9).

Из сравнения следует, что функция не удовлетворяет заданным требованиям, а функция удовлетворяет, т. е.

Таблица 4.6 (см. скан)

Таблица 4.7 (см. скан)

. Затем определяется функция с)

По коэффициентам строится функция

На ЭВМ вычисляются корни функции Строится передаточная функция

корни которой совпадают с корнями лежащими внутри единичной окружности (корни, лежащие на единичной окружности, в данном примере отсутствуют), причем Коэффициенты этого фильтра и максимально погрешности аппроксимации

приведены в табл. 4.7.

Из сравнения величин следует, что синтезированный минимально-фазовый фильтр удовлетворяет всем условиям задачи.