1.4. ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

1.4.1. Круговая свертка

Пусть — две периодические последовательности с периодами по отсчетов.

Круговой (периодической или циклической) сверткой таких последовательностей называется последовательность определяемая соотношением

Запись (1.40) эквивалентна записи

Последовательность также является периодической с периодом в отсчетов, поэтому достаточно вычислять ее на одном периоде, например при

Соотношения (1.40) и (1-41) справедливы и для конечных последовательностей если рассматривать их как один период соответствующих нм периодических последовательностей. Круговая свертка конечных последовательностей будет также конечной.

В матричной форме круговая свертка имеет вид

где -мерные векторы;

а Н и X — циклические матрицы размера

Пример 1.11. Вычислить круговую свертку последовательностей длины

Представим в виде последовательности длины

На рис. 1.13 приведена графическая иллюстрация вычисления круговой свертки по формуле (1.40) для . Здесь исходные конечные последовательности периодически продолжены с периодом отсчетов (пунктиром), чтобы показать, как получается круговой сдвиг. Звездочками обозначены выборки, составляющие . Результирующая последовательность представляет собой последовательность сдвинутую на отсчетов вправо.

Рис. 1.13 (см. скан)

Дискретная свертка является одним из способов вычисления выходного сигнала цифрового фильтра по заданному входному сигналу и известной импульсной характеристике фильтра (см. 2.3.3).