1.5.4. Специальные виды ДПФ

В таких важных приложениях цифровой обработки сигналов, как реализация трансмультиплексоров (см. разд. 9), нашли применение нечетно-временное нечетно-частотное и косинусное преобразования [1.21], позволяющие существенно сократить число требуемых арифметических операций по сравнению со случаем использования обычного ДПФ.

Нечетно-временное нечетно-частотное ДПФ.

Этот вид преобразования используется для эффективного вычисления ДПФ -точечных кратно 4) симметричных действительных последовательностей в случае, когда во временной области отсчеты берутся в нечетные, кратные моменты времени , а в частотной области — в нечетные, кратные точки частотной оси:

Пара преобразований имеет вид:

Преобразование (1.82) называется прямым, а (-обратным . В случае действительной входной последовательности с нечетной симметрией справедливо соотношение

причем является действительной последовательностью.

Процедура вычисления таких последовательностей задается следующим образом [1.20]:

1) формируется комплексный вектор содержащий элементов:

2) каждый элемент вектора умножается на множитель в результате чего получается вектор

3) вычисляется стандартное -точечное ДПФ вектора результат — вектор V;

4) каждый элемент вектора V умножается на множители в результате чего получается вектор Действительная и мнимая части элементов полученного вектора и есть искомые коэффициенты

Недостающие отсчеты определяются из соотношения (1.84).

Пример 1.26. Вычислить -точечное действительной последовательности с нечетной симметрией :

3) 2-точечное ДПФ вектора равно:

Согласно (1.85):

Пользуясь (1.84), получаем:

Дискретное косинусное преобразование (ДКП).

Этот вид преобразования последовательности определяется как

Обратное ДКП (ОДКП) имеет вид

Дискретное косинусное преобразование можно вычислять с использованием -точечного ДПФ [1.21]. Пусть

н последовательность такая, что

Если вычислить -точечное ДПФ следующим образом:

то

а искомые коэффициенты

При цифровом преобразоваинн первичных (-канальных) групп с (частотным разделением каналов) возникает необходимость вычисления -точечных ДКП. В этом случае более эффективным является алгоритм, предложенный в [1.18, 1.19]. Пусть требуется вычислить

Так как

то можно определить две последовательности:

такие, что

Пусть Тогда справедливы соотношения:

Выражения, отмеченные соответствуют -точечной круговой свертке

которая может быть вычислена с использованием полиномиальных преобразований (см. 1.47) следующим образом [1.12]:

Для вычисления используются тождества:

Пусть . Тогда

где Преобразования, отмеченные могут быть вычислены по алгоритму (1.89). В общей сложности для вычисления (1.88) потребовалось 16 операций умножения и 76 — сложения.