4.3.10. Сравнение методов решения аппроксимационных задач
Метод разложения в ряд Фурье аппроксимируемой функции имеет следующие преимущества:
а) он проще остальных методов, поскольку для его реализации при определенном 
требуется наименьший объем вычислений;
б) если при некотором 
точность аппроксимации оказывается недостаточной, то можно увеличить порядок фильтра, рассчитав лишь дополнительные коэффициенты, причем ранее рассчитанные коэффициенты изменяют свои номера, по-прежнему являясь коэффициентами фильтра (см. пример 4.5, в котором рассчитаны фильтры с 
в качестве коэффициентов фильтра с 
используются все коэффициенты фильтра с 
в) это единственный метод, позволяющий получить аналитические выражения (формулы) для коэффициентов фильтра, что очень удобно при теоретических исследованиях его характеристик (см. (4.23) и пример 4.5).
Основной недостаток метода заключается в том, что точность аппроксимации оказывается низкой. Из сравнения данных табл. 4.2, 4.4 и 4.5 видно, что при одних и тех же значениях 
максимальная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и задерживания оказывается примерно в 40 раз больше, чем для метода наименьших квадратов, и примерно в 100 раз большей, чем для метода наилучшей равномерной аппроксимации.
Метод разложения аппроксимируемой функция в ряд Фурье целесообразно использовать тогда, когда порядок проектируемого фильтра настолько велик 
что невозможно применить иные методы аппроксимаций. Фильтры такого высокого порядка представляют собой почти идеальные избирательные фильтры, которые используются при моделировании сложных систем на ЭВМ.
Основное преимущество метода наименьших квадратов по сравнению с иными методами состоит в возможности учета дополнительных ограничений на коэффициенты фильтра, имеющих характер линейных неравенств или равенств (см. 
а также в возможности построения сложной целевой функции, минимум которой соответствует искомому решению (см. 4.3.7, функция 
По точности аппроксимации метод занимает промежуточное положение между методами разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье и наилучшей равномерной аппроксимации.
Метод наименьших квадратов требует значительного объема вычислений, так как для решения задачи необходимо определять коэффициенты и правые части системы линейных алгебраических уравнений и решить эту систему [см. (4.26) ]. Этот метод целесообразно использовать в следующих случаях:
когда необходимо учесть дополнительные ограничения на коэффициенты фильтра или построить сложную целевую функцию;
когда минимизация функции типа (4.24) соответствует физическому смыслу задачи (см., например, [4.11, 4.12]).
Метод наилучшего равномерного (чебышевского) приближения реализуется, как правило, в виде эффективного алгоритма Ремеза (см. 4.3.4 и [1.6]). Он позволяет:
рассчитать фильтр заданного порядка 
для которого максимальная абсолютная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и задерживания будет минимальна (см. 4.3.4 и пример 4.8);
по заданной максимальной абсолютной погрешности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания рассчитать фильтр наименьшего порядка 
которого удовлетворяет поставленным требованиям;
точно задать отношения между абсолютными погрешностями аппроксимации в различных полосах с помощью весовой функции (см. (4.9), (4.11) и пример 4.3).
Алгоритм Ремеза целесообразно использовать для расчета нерекурсивных фильтров всегда, за исключением тех случаев, когда следует использовать методы разложения аппроксимируемой функции в ряд Фурье или наименьших квадратов.
