где 
- матрица, обратная к матрице 
Элементы 
равны 
Дискретное преобразование Фурье вводится для представления как периодических последовательностей с периодом 
отсчетов, так и последовательностей конечной длины 
Коэффициенты ДПФ конечной последовательности равны значениям ее 
-преобразования в 
точках, равномерно распределенных по единичной окружности, т. е. 
Сопоставляя Фурье-преобразование и ДПФ, можно отметить следующее. Фурье-преобразование и понятие «спектр» относятся к бесконечной последовательности 
в целом [см. (1.10)]. В тех случаях, когда речь идет о преобразованиях спектра бесконечной последовательности в целом [см., например, (1.11), (1.12)], ДПФ применяется относительно редко. Так, сдвиг спектра [см. (1.12)] и инверсия спектра (см. пример 1.5) выполняются умножением отсчетов 
на множители, зависящие от 
Цифровая фильтрация (см. разд. 2), реализующая изменение спектра входного сигнала по заданному закону, также выполняется, как правило, без применения ДПФ. Исключением, но весьма важным является применение ДПФ для вычисления линейной свертки (см. 1.4.3), что в сочетании с методами секционирования свертки (см. 1.4.4) позволяет эффективно реализовать нерекурсивную цифровую фильтрацию бесконечной последовательности (см. разд. 2).
Дискретное преобразование Фурье [см. (1.19) и (1.20)] выполняется над конечной последовательностью 
отсчетов или над периодической последовательностью, у которой период состоит из 
отсчетов. Поскольку характеристики спектра последовательности, такие как спектральная плотность мощности, амплитуды и фазы отдельных частот (см. разд. 8), определяются всегда с использованием конечного числа отсчетов этой последовательности, ДПФ является родним из важнейших средств их определения.
— последовательность из 
временных отсчетов с периодом Т; 
-последовательность из 
частотных отсчетов; 
, называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).
-обратным ДПФ (ОДПФ).
-мерные векторы: 
— матрица размера 
с элементами 
. Обратное ДПФ записывается в виде
