4.4. РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРОВ И РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ

4.4.1. Расчет разрядности коэффициентов фильтров

После решения аппроксимационной задачи на ЭВМ коэффициенты фильтра определяются весьма точно, как правило, с 7—14 десятичными разрядами. При реализации фильтра в виде специализированной микро-ЭВМ каждый коэффициент должен быть представлен в виде двоичного кода состоящего из цифр (помимо знакового разряда).

Пример 4.11. Пусть Тогда, округляя до 15 двоичных разрядов, получают

Использование округленных двоичных кодов коэффициентов приводит к изменению характеристик фильтров. На практике часто используют следующий критерий для расчета разрядности

Пусть требования к фильтра имеют вид

где — аппроксимируемая функция; — допустимая погрешность на подынтервале аппроксимации. Тогда разрядность считается выбранной правильно, если АЧХ фильтра с передаточной функцией — округленные до разрядов коэффициенты) удовлетворяет условию (4.36). Для проверки условия (4.36) используется метод перебора с шагом определяемым (4.35).

Существуют два метода определения величины Первый метод состоит в расчете минимально возможного значения на стадии решения аппроксимационной задачи. При этом изменяется постановка этой задачи — теперь должна быть определена аппроксимирующая функция заданного порядка К, удовлетворяющая поставленным требованиям [например, условию (4.10)] при минимальной двоичной разрядности коэффициентов Си Подобные задачи решаются методом целочисленного программирования [4.13]. Второй метод состоит в расчете величины путем округления коэффициентов, полученных в результате решения аппроксимационной задачи.

Заметим, что второй метод расчета разрядности гораздо проще первого. При значениях удовлетворяющих условию оба метода дают практически одинаковые результаты [4.14].

4.4.2. Основные предположения при расчете разрядностей регистров оперативной памяти

Значения разрядностей регистров оперативной памяти фильтра зависят в общем случае от формы реализации фильтра и способа представления чисел. Ниже приводятся расчетные соотношения для следующих величин: разрядности регистра входного сигнала (считается, что разрядностей тех частей регистра выходного сигнала в которых фиксируются целая и дробная части кода в предположении, что фильтр реализуется в прямой форме и числа представлены с фиксированной запятой в прямом дополнительном кодах, причем каждое произведение округляется.

4.4.3. Расчет величины sn

Условие [1.10]

гарантирует отсутствие переполнения регистра выходного сигнала.

Пример 4.12. Для фильтра с (см. табл. 4.5) по формуле (4.37) определяем

4.4.4. Расчет величин ... и (вероятностный подход)

Пусть задана величина — допустимая дисперсия (средняя мощность) шума на выходе фильтра, причем этот шум обусловлен шумами округления отсчетов выходного сигнала фильтра и, возможно, каждого произведения, получаемого при вычислении выходного сигнала фильтра. Шумы округления представляют собой стационарные случайные последовательности с некоррелированными между собой отсчетами, причем шумы, создаваемые различными источниками, не коррелированы друг с другом и с сигналом, обрабатываемым фильтром.

Если произведения вычисляются точно, т. е. отсутствуют шумы округления, то согласно (2.27) где — дисперсия шума округления отсчетов входного сигнала и

Если произведения вычисляются с округлением, т. е. присутствуют шумы округления произведений, то

где — дисперсия шума округления произведения.

Мощность собственных шумов фильтра (шумов округления произведений) должна быть мала по сравнению с мощностью внешнего по отношению к фильтру шума округления отсчетов входного сигнала. Можно принять

Из (4.39) и (4.40) следует расчетные формулы для

Пример 4.13. Пусть для отсчетов выходного сигнала Для фильтра с (см. табл. 4.5) при точном вычислении произведений находим (см. (4.38)). Для того же фильтра при округлении произведений по формулам (4.41) и (4.42) определяем соответственно

4.4.5 Расчет величин ... «на худший случай»

Пусть задана максимально допустимая абсолютная погрешность отсчетов выходного сигнала фильтрат:

где -отсчеты выходного сигнала «точного» фильтра, в котором все операции выполняются точно и на вход которого подается «точный» входной сигнал: -отсчеты выходного сигнала фильтра с теми же коэффициентами, на вход которого подается округленный до разрядов входной сигнал и,

возможно, все произведения вычисляются с округлением до разрядов.

Если произведения вычисляются точно и где - точные отсчеты входного сигнала; - отсчеты входного сигнала, округленные до разрядов, то из (4.43) и (2.19) следует, что

Если произведения вычисляются с округлением, то

где — погрешность отсчетов входного сигнала, определяемая округлением этих отсчетов до разрядов; -погрешность выходного сигнала, определяемая округлением произведении:

Для того чтобы фильтр не вносил значительных дополнительных погрешностей в значение отсчета выходного сигнала, можно принять аналогии с (4.40)]

Из (4.43), (4.45) и (2.19) следуют расчетные формулы для

Пример 4.14. Пусть Для фильтра с (см. табл. 4.5) при точном вычислении произведений из Для того же фильтра при округлении произведений