1.3.2. Свойства дискретного преобразования Фурье

Линейность. Если есть ДПФ последовательностей соответственно, то ДПФ последовательности где а и — произвольные константы, равно

Сдвиг. Пусть -ДПФ последовательности а последовательность получается из последовательности путем сдвига (в случае конечной последовательности — кругового сдвига) на По отсчетов (рис. 1.4). Тогда ДПФ последовательности равно

Аналогичный результат справедлив для сдвига коэффициентов ДПФ. Если есть ДПФ последовательностей соответственно и то

На рис. 1.4 приняты следующие обозначения: -периодическая последовательность, причем при — периодическая последовательность, сдвинутая относительно на по отсчетов; - конечная последовательность, полученная круговым сдвигом на отсчетов; при

Свойства симметрии. Если последовательность является действительной, то ее ДПФ удовлетворяет следующим условиям симметрии:

Дискретное преобразование Фурье симметричной последовательности является действительным.

Рис. 1.4

Свойства симметрии позволяют с помощью одного ДПФ преобразовывать одновременно две действительные последовательности. Пусть действительные последовательности имеют соответственно, а последовательность имеет . Тогда:

Круговая свертка (см. 1.4.1). Пусть имеют соответственно. Если последовательность равна круговой свертке последовательностей

то ее ДПФ равно

Если имеют ДПФ соответственно, то ДПФ последовательности равно (с точностью до постоинного множителя) круговой свертке

Сопряженная формула обращения. Обратное ДПФ (1.20) можно вычислять с помощью формулы для прямого ДПФ

(черта сверху означает комплексное сопряжение).