5.1.3. Билинейное преобразование

Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек -плоскости в точки -плоскости и использует замену переменной вида

где 7 — постоянный множитель, значение которого не меняет форму преобразования (о выборе величины у см. 5.1.4).

Использование (5.2) обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа) в передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра:

Каждой точке комплексной -плоскости ставится в соответствие определенная точка -плоскости

Мнимая ось -плоскости для отображается в единичную окружность -плоскости

Левая половина -плоскости отображается в часть -плоскоети внутри единичного круга т. е. устойчивый аналоговый фильтр приводит к устойчивому линейному рекурсивному фильтру.

Соотношение между «аналоговыми» частотами и «цифровыми» частотами определяется уравнением

где нормированная «цифровая» частота. На рис. 5.3 показана зависимость (5.4) для случая

Для частотно-избирательных фильтров полосовых, режекторных), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной функции, нелинейная (но монотонная) зависимость (5.4) между частотами не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при преобразовании (5.3).

Пример 5.1. Пусть заданы требования к АЧХ цифрового ФНЧ: неравномерность АЧХ в полосе пропускания ДЛП, отклонение от нуля в полосе задерживания а также граничные нормированные частоты полос пропускания и задерживания (рис. 5.4). Используя нелинейное соотношение

(5.4) I определяем соответствующие граничные частоты полосы пропуск и полосы задерживания аналогового фильтра (см. рис. 5.4). Есл: определить передаточную функцию аналогового фильтра-прототш равномерностью АЧХ в полосе пропускания равно ДЛП, и отк. от нуля в полосе задерживания равным а затем выполнить билинейное преобразование (5.3), нолучим РЦФ, удовлетворяющий поставленным требованиям. На рис. 5.4 хорошо видна деформация амплитудно-частотной характеристики РЦФ вдоль частотной оси (особенно в полосе задерживания).

Рис. 5.3 (см. скан)

Рис. 5.4 (см. скан)

Выбор параметра

приводит к нормированному АФ-прототипу что удобно при ваши справочников по аналоговым фильтрам.