9.3. Киральная симметрия и квантовая хромодинамика

9.3.1. Введение и мотивировки

В построениях, проводимых до настоящего момента, у нас не было необходимости сталкиваться с внутренней структурой нуклонов, пионов, изобар и т.д.: типичные длины волн в физике низких и промежуточных энергий слишком велики, чтобы разрешать явную кварк-глюонную подструктуру адронов. Ядерная феноменология на языке барионов и мезонов (а не кварков и глюонов) работает замечательно. Ярким примером является электрорасщепление дейтрона при больших передачах импульса, обсуждавшееся в разделе 8.5.3.

Следует ли нам и в нынешнем контексте забыть о квантовой хромодинамике (КХД), теории, лежащей в основе сильных

взаимодействий? Ясно, что нет: основные принципы симметрии КХД все еще определяют взаимодействия адронов, даже если кварк-глюонные степени свободы ограничены внутри адронов и скрыты от низкоэнергетических частиц.

Наиболее важным принципом физики пионов является киральная симметрия [1]. Чтобы увидеть, как она возникает на более фундаментальном уровне, обратимся к краткому введению в КХД.

9.3.2. Краткий обзор КХД

Квантовая хромодинамика — это теория поля взаимодействующих кварков и глюонов [4]. Кварки бывают трех цветов и ароматов Адроны представляют собой бесцветные объекты, составленные из кварков и глюонов. Отдельные изолированные кварки в природе не наблюдаемы: существуют значительные силы, удерживающие их внутри адрона.

Для пион-ядерной физики прекрасным приближением служит рассмотрение только легчайших кварков и -кварков). Странный кварк (-кварк) примерно на 200 МэВ тяжелее, и им можно пренебречь так же, как и другими тяжелыми кварками, и- и -кварки описываются как точечные дираковские поля (со спином 1/2), которые образуют (-дублет (изоспиновый) по аромату,

Каждое из полей понимается как триплет в цветовом пространстве.

Лагранжиан КХД имеет вид

Часть, отвечающая свободным кваркам, при ограничении только -кваркам есть

Здесь — матрица масс

где — массы свободных, т.е. не взаимодействующих кварков (массы так называемых токовых кварков). Член взаимодействия описывает связь кварков с глюонными полями (с цветовым индексом

где цветовая константа связи, а есть восемь матриц, порождающих группу калибровочных преобразований лежащую в основе схемы. Член глюоны содержит глюонные поля и их взаимодействия между собой, являющиеся сильно нелинейными вследствие неабелевости группы калибровочной симметрии Считается, что именно эта особенность ответственна за удержание кварков и глюонов на масштабе длин порядка размеров адронов Та же симметрия ведет к асимптотической свободе: при очень больших передачах импульса кварки наблюдаются как почти свободные частицы.

9.3.3. КХД с безмассовыми кварками: киральная симметрия

Считается, что в адронных масштабах затравочные u- и d-кварки являются почти безмассовыми. Будем поэтому рассматривать в пределе безмассовых u- и d-кварков. Этот лагранжиан теперь обладает важной основополагающей симметрией, так называемой киральной симметрией. Для иллюстрации этого понятия сначала исследуем случай свободной безмассовой дираковской частицы, удовлетворяющей уравнению

Дираковская волновая функция имеет вид

где — это единичный вектор по направлению импульса — двухкомпонентный паулиевский спинор (см. Приложение Для безмассовой частицы со спином 1/2 спиральность (или киральность) а является сохраняющейся величиной с собственными значениями ±1. В этом случае сразу же видно, что

т.е. матрица Дирака играет роль оператора спиральности.

В простейшем случае только одного сорта безмассовых кварков (один аромат) лагранжиан (9.13) инвариантен по отношению к следующему киральному преобразованию (вращению) поля кварка на произвольный угол :

Обобщение на два сорта кварков (аромат или изоспин с

и та позволяет связать моральность с изоспином. Киральное вращение полей кварков теперь объединяет спиральность и изоспин в виде

где — изоспиновые матрицы Паули, а угол имеет три независимые компоненты в изоспиновом пространстве.

Важный момент состоит в том, что такое киральное вращение оставляет Скхд инвариантным в пределе . Эту симметрию называют киральной -инвариантностыо, со ссылкой на два возможных (отвечающих вращению по левой или по правой руке) состояния спиральности, связанных с уравнением (9.17).

Инвариантность при киральном преобразовании (9.19) означает существование сохраняющегося аксиального тока с нулевой дивергенцией

При заданном лагранжиане Скхд и вариации полей кварков для малых вид аксиального тока кварков следует из теоремы Нетер (см., например, Itzykson and Zuber, 1980):

Экспериментальные наблюдения наводят на мысль, что физика при очень высоких энергиях может быть выражена на языке слабо взаимодействующих кварков и глюонов. Это — область пертурбативной КХД. Однако явления при низких энергиях являются сильно непертурбативными. В этой области подходящими степенями свободы являются не кварки и глюоны, а мезоны и барионы, в которых кварки удерживаются большими непертурбативными КХД-силами. Сохранение аксиального тока, однако, остается общей чертой киральной симметрии. Оно имеет место вне зависимости от способа, которым проявляет себя сильное взаимодействие, будь это через кварки и глюоны или в виде физических адронов.

9.3.4. Картина двух фаз

Эвристически можно представлять область слабой и сильной связи в КХД как две фазы: коротковолновую фазу кварков и глюонов и длинноволновую фазу составных адронов. Киральная симметрия является основным физическим принципом, связывающим физику этих двух фаз.

Рис. 9.1. "Отражение" безмассового кварка от границы, разделяющей области А и Б

Проиллюстрируем эту ситуацию на следующей качественной картине, показанной на рис. 9.1.

Допустим, что кварки удерживаются внутри ограниченной области пространства (фаза А), где им разрешено двигаться свободно. Пусть некоторая границаотделяет эту область от остального пространства (фаза Б). В области Б физика описывается на языке адронов, и кварки здесь не существуют как отдельные степени свободы.

Рассмотрим полный аксиальный ток в фазах А и Б:

Из киральной симметрии следует, что этот ток сохраняется, т.е. независимо от детальной физики в каждой отдельной фазе. Внутри фазы А безмассовые кварки удовлетворяют уравнению Дирака для свободной частицы Их аксиальный ток сохраняется:

Исследуем теперь поведение аксиального тока на границе, разделяющей фазы А и Б. В то время как спиральность является хорошим квантовым числом для кварков внутри А, отражение от границы меняет направление импульса кварка, но оставляет спин неизменным. Возникающее при этом изменение спиральности кварка означает, что на границе

Эта неисчезающая дивергенция является псевдоскалярной изовекторной величиной: она действует как источник поля с квантовыми числами пиона. В фазе Б это поле отождествляется с пионом. Отсюда вытекают важные следствия, которые мы обсудим в следующих разделах.

9.3.5. Аксиальный ток нуклона: начальный подход

Обратимся к конкретному случаю, когда система, описываемая фазами А и Б, является нуклоном. Рассмотрим предел, в котором не чувствуется сложной структуры фазы А и ее границы, так что применимо адронное описание. В этом пределе нуклон может рассматриваться как точечный; практически же это соответствует исследованию нуклона на масштабах длин

Пусть — поле точечного нуклона, удовлетворяющее уравнению Дирака

В противоположность кваркам в фазе А, нуклон благодаря сильным КХД взаимодействиям обладает большой массой М. Его аксиальный ток равен

то есть записывается в виде, характерном для точечной дираковской частицы, но с константой что напоминает о составной структуре нуклона. Аксиальная константа связи была измерена в -распаде нейтрона и ее эмпирическое значение составляет

Дивергенция уравнения (9.26) имеет вид

где было использовано уравнение Дирака для свободной частицы. В случае безмассового нуклона часть (9.26) аксиального тока сохранялась бы независимо от полного тока. Для физического же нуклона дивергенция (9.28) не исчезает. Вместе с тем, вследствие киральной симметрии полный аксиальный ток все же должен сохраняться. Пока нам не хватает важной части аксиального тока, связанной с пионным полем.

9.3.6. Пионный аксиальный ток

Введем пионный аксиальный ток как

так что его матричные элементы удовлетворяют уравнению (9.5). Построим полный аксиальный ток

Сохранение этого тока, т.е. выполнение соотношения вместе с уравнением (9.28) приводит к уравнению для поля

которое описывает поле безмассовых пионов связанное с нуклонным источником.

Появление поля безмассовых пионов следует из теоремы Голдстоуна: из спонтанного нарушения глобальной симметрии вытекает существование бозона с нулевой массой. В настоящем контексте спонтанное нарушение киральной симметрии проявляется в том, что нуклон приобретает некоторую массу. Соответствующий годцстоуновский бозон отождествляется с пионом [1].

9.3.7. ЧСАТ и соотношение Гольдбергера—Треймана

Физический пион не является безмассовым, однако его масса МэВ мала в типичной адронной шкале масс, составляющей около 1 ГэВ. Масса пиона возникает от ненулевых, но малых масс токовых кварков та и порядка 10 МэВ, которые явно нарушают киральную инвариантность лагранжиана КХД. Мы не будем входить в подробное обсуждение этой связи. Отметим, однако, что имеется следующее важное соотношение между массой пиона и массами токовых кварков [5]:

где есть вакуумное среднее от пар кварковых полей — так называемый кварковый конденсат. Он является характеристическим параметром порядка фазы КХД с сильной связью, относящимся к спонтанно нарушенной киральной симметрии, и его приближенное значение (Shifman et al., 1979) составляет

Феноменологические следствия конечной массы пиона можно изучить путем добавления массового члена в уравнение для пионного поля:

Пользуясь той же методикой, что и в разделе 9.3.6, получаем, что член с массой пиона соответствует следующей дивергенции полного аксиального тока:

Это — соотношение ЧСАТ, и с ним мы встречались в разделе 9.2.3.

Уравнение для пионного поля с псевдоскалярной связью имеет вид

где

Из сравнения с уравнением (9.34) видно, что константа должна быть отождествлена с константой пион-нуклонной связи (Goldberger and Treiman, 1958)

Это важное соотношение между константой связи сильного взаимодействия и аксиальными константами называют соотношением Гольдбергера—Треймана. Его очень хорошо подтверждает эксперимент: . Степень согласия с экспериментом отражает ту точность, с которой реализуется киральная инвариантность.