11. СООТНОШЕНИЯ КРОССИНГА

(а) Преобразование кроссинга

В амплитудах бозонного обмена часто приходится сталкиваться с проблемой вычисления обменных слагаемых, показанных на рис. Вершинные операторы Г на этом рисунке соответствуют комбинациям изоспиновых и дираковских матриц. Прямое и обменное слагаемые связаны друг с другом соотношениями кроссинга:

Матрицу С со свойством называют матрицей кроссинга.

Рис. П11.1. Прямое и обменное слагаемые -канальных амплитуд обмена бозоном. Значки относятся к изоспиновым и/или дираковским спинорным индексам

(б) Изоспиновые соотношения кроссинга

Для двух частиц с изоспином 1/2 удобными операторами являются 1 и , где — унитарная матрица

— матрица Паули, определенная в Приложении Преобразование кроссинга генераторов есть

Этот результат в компактном виде приведен в табл. П11.1. Следовательно, матрица изоспинового кроссинга равна

Таблица П11.1. Связь между операторами изоспина в прямом и перекрестном каналах

(в) Преобразование Фирца

Для двух дираковских частиц взаимодействие может быть представлено как разложение по пяти тензорам Дирака, определенным в Приложении — матрицы Дирака с индексами :

Соотношение кроссинга известно как преобразование Фирца. Элементы матрицы кроссинга С представлены в табл.

Преобразование кроссинга дает связь между матричными элементами Когда преобразование кроссинга

Таблица П11.2. Элементы матрицы кроссинга для преобразования Фирца

применяется к таким операторам, как , где — дираковские поля, преобразование Фирца получает дополнительный знак минус от антикоммутатора