5.3. Классическое s-волновое рассеяние в среде

5.3.1. Основные уравнения рассеяния

Рассмотрим массивный точечноподобный монопольный рассеиватель, расположенный в начале координат. Эквивалентность между дипольным и р-волновым рассеянием, обсуждавшимся в предыдущем разделе, отвечает здесь эквивалентности между рассеянием на монополе и -волновым рассеянием. Начальная плоская волна приводит к сферической расходящейся волне,

где -волновая длина рассеяния.

Рассмотрим среду таких точечных рассеивателей с плотностью Полная волна представляет собой суперпозицию начальной волны и расходящихся волн от всех рассеивающих центров. Эти расходящиеся волны пропорциональны эффективному полю

в точке расположения каждого рассеивателя, поэтому полная волна становится равной

Соответствующее волновое уравнение, полученное применением оператора имеет вид

В низшем порядке по плотности разницей между средним полем и эффективным полем род можно пренебречь. Поэтому волновое уравнение в этом порядке записывается следующим образом:

Правая часть этого уравнения вводит -волновую собственную энергию или оптический потенциал в первом порядке по плотности

Примером физической ситуации, для которой результат первого порядка является прекрасным приближением, служит -волновое рассеяние медленных нейтронов ядрами в среде. Для -волнового рассеяния пионов в ядрах разница между средним и эффективным полем важна, и требуется более строгое рассмотрение.

5.3.2. s-волновое эффективное поле

Поправки на эффективное поле, аналогичные эффекту Лоренц—Лоренца в дипольном рассеянии, возникают также и в -волновом рассеянии. Принципиальная разница заключается в том, что в последнем случае перенормировка явно зависит от радиуса корреляций даже в длинноволновом пределе, в то время как в случае диполя она от радиуса не зависит.

Как и в предыдущем обсуждении эффекта Лоренц—Лоренца, мы предполагаем, что среда однородна и эффективное поле рэфф постоянно по области корреляций. Проделаем те же шаги, что и в уравнениях (5.26) и (5.27). Тоща поле падающее на одиночный рассеиватель в начале координат, равно

где последнее слагаемое Опять представляет собой поправку, связанную с парными корреляциями.

Давайте сейчас точно рассмотрим область около порога в пределе с амплитудой, равной длине рассеяния

В этом длинноволновом приближении эффективное поле у порога примерно равно и следовательно,

Вспоминая нормировку в (5.25), введем обратную длину корреляции как

Тогда эффективное поле связано со средним полем соотношением

при этом заметим, что выбор начала координат в точке, где расположен рассеиватель, не влияет на результат. Перенормированная -волновая собственная энергия на пороге получается теперь сразу из (5.31):

Характерным параметром -волновой перенормировки среднего поля является величина Типичная зависимость этого параметра от плотности может быть получена следующим образом. Если парная корреляционная функция взята равной -1 внутри сферы и нулю — вне ее, а радиус определен условием нормировки (5.25), то обратная корреляционная длина составляет

Следовательно, характерный параметр эффектов перенормировки изменяется с плотностью, как

Предыдущие результаты обычно выражают через "эффективную длину рассеяния" определенную как

При этом перенормированная собственная энергия становится равной

Когда параметр ариз мал, главного приближения вполне достаточно. Однако может случиться, что в системе с несколькими типами рассеивателей главное приближение дает очень малый вклад, и поправка на эффективное поле становится важной.

5.3.3. Системы с двумя типами s-волновых рассеивателей

Для двух видов обоюдно некоррелированных рассеивателей с плотностями и длинами рассеяния собственная энергия является суммой собственных энергий этих двух систем по отдельности. Для малых длин рассеяния на пороге имеем

Отметим, что корреляции дают отталкивающий вклад. Слагаемое с корреляцией важно в низкоэнергетическом пион-ядерном рассеянии в ядрах с для которых главный член почти равен нулю.