2.6. Низкоэнергетическое s-волновое пиN-рассеяние

2.6.1. Феноменологический s-волновой гамильтониан

-волновое пион-нуклонное взаимодействие основывается на механизмах, отличных от обсуждавшихся до сих пор механизмов, описываемых эффективными и -гамильтонианами. Последние линейны по импульсу пиона, и (как мы видели в разделе 2.5.2) поэтому приводят только к р-волнам.

Чтобы получить феноменологическое описание основных механизмов -волнового -рассеяния [2], рассмотрим сначала процесс, показанный на рис. 2.9. Картина соответствует тому, что пион обменивается с нуклоном составным бозоном. Детальная динамическая структура этого бозона может быть очень сложной. Однако в длинноволновом пределе важны только общие свойства объекта, которым осуществляется обмен: основные особенности взаимодействия могут обсуждаться уже без учета его детальной структуры, на языке квантовых чисел этого бозона. Исследуем диаграмму, изображенную на рис. 2.9, более внимательно.

Рис. 2.9. Иллюстрация механизма обмена эффективным бозоном в пион-нуклонном рассеянии

1. Связь бозона с нуклоном означает, что переданный нуклону изоспин может быть только Поэтому изоспиновые квантовые числа бозона равны

2. Если нуклон очень тяжелый (статический предел), то взаимодействие посредством обмена бозоном может, самое большее, привести лишь к перевороту спина нуклона. Поэтому переданный угловой момент и полный спин бозона равен

3. Левая часть рис. 2.9 означает, что бозон может переходить в двухпионное состояние. Волновая функция -пары должна быть полностью симметрична. Таким образом, для угловой момент должен быть четным, в то время как для изоспина он должен быть нечетным.

Так как для статических нуклонов значение ограничено 0 или 1, то возможны только два механизма обмена: или скаляр-изоскалярный с или вектор-изовекторный с

На этой основе мы описываем низкоэнергетическое -волновое -рассеяние эффективным гамильтонианом действующим на статические нуклоны с обменом

В части с изоспином пионное поле входит в такой комбинации, чтобы образовать скаляр-изоскалярную величину, а это предполагает следующий вид гамильтониана:

где — расстояние между и Функция содержит информацию об обменном скаляр-изоскалярном бозоне. Если аппроксимировать его одиночным бозоном массы то величина будет пропорциональна

Обмен векторным бозоном с изоспином 1 требует связи ток—ток между пионом и нуклоном. Пионный ток

является изовектором. Он связывается с изовекторной частью нуклонного тока пропорциональной изоспиновой матрице и

плотность взаимодействия имеет вид Для статического нуклона не зануляется лишь временная компонента Следовательно, изовекторный -волновой -гамильтониан должен иметь вид

Функция содержит информацию об обменном вектор-изовекторном бозоне и соответствующем ему радиусе.

Всюду выше вплоть до этого момента рассмотрение было вполне общим. Сейчас мы напомним (см. раздел 1.2), что существует бозон с сильно связанный с двумя пионами: -мезон с массой МэВ и большой шириной распада по каналу порядка 150 МэВ. Эти обстоятельства наводят на мысль, что этот мезон играет важную роль в процессах, дающих вклад в Размер взаимодействия за счет обмена -мезоном по порядку величины равен составляя малую часть комптоновской длины волны пиона. Более детально механизм обмена -мезоном будет обсужден в разделе 2.6.3.

Ситуация в канале менее ясна, так как не существует известного мезона в этом канале. Однако известно, что соответствующее распределение массы расположено, в основном, в области Следовательно, радиус снова составляет лишь часть от комптоновской длины волны пиона.

В силу того, что радиусы механизмов обмена в малы, мы ожидаем, что около порога важен только интеграл по объему от Это обстоятельство является причиной замены в первом приближении на эквивалентные потенциалы нулевого радиуса, которые воспроизводят длины рассеяния в борновском приближении. Потенциалы нулевого радиуса определяются матричными элементами от между пионными состояниями (Здесь удобно использовать декартовы изоспиновые индексы.) Легко проверить следующие соотношения:

В пределе статических нуклонов эквивалентный псевдопотенциал имеет структуру

здесь — изоспин пиона.

Потенциал определен так, чтобы амплитуда рассеяния при низких энергиях была:

Сравнивая с амплитудой (2.38), для коэффициентов на пороге имеем:

Необходимо отметить, что коэффициент очень мал в сравнении с Более общее основание для описания низкоэнергетического -волнового -взаимодействия на языке короткодействующего псевдопотенциала (2.77) дается мягкопионными теоремами для рассеяния пионов у порога (соотношение Томозавы—Вайнберга [8]), которые будут обсуждаться в контексте более широкого обсуждения киральной симметрии в гл. 9. Эти теоремы относятся к физике рассеяния пионов у порога для любой системы в пределе нулевой массы пиона т.е. в пределе бесконечной комптоновской длины волны пиона. В этом случае взаимодействие выглядит точечноподобным и описывается фундаментальным параметром длины величина которого определяется константой распада для процесса и оказывается равной

В этом случае длина -рассеяния

так что

Этот результат объясняет, почему значение в -рассеянии очень мало, а также дает численное описание экспериментальной величины