6.6. Оптический потенциал и пион-ядерные связанные состояния

Зависимость оптического потенциала (6.56) от скорости не так безобидна, как это может показаться. Она приводит к глубоким изменениям в системе пион—ядро, когда восприимчивость из (5.44) становится настолько сильно притягивающей, что . В этом случае могут появляться связанные пион-ядерные состояния. Реальные ядра не так далеки от критической величины для этого явления: например, с набором параметров из табл. 6.2 для плотности ядерной материи находим . В реальных случаях, однако, средняя плотность значительно меньше, чем эта величина.

Теперь исследуем механизм, за счет которого возникает этот эффект (Ericson and Myhrer, 1978; Mandelzweig et al, 1980). Рассмотрим волновое уравнение для пиона со схематическим оптическим потенциалом той же структуры, что и в уравнениях

(6.56) и (5.49). В отсутствие кулоновского взаимодействия имеем

Для пиона с энергией это уравнение соответствует в нерелятивистском пределе уравнению Шредингера с Поэтому слагаемое представляет собой модифицированную кинетическую энергию. В норме кинетический член отталкивающий, и при это условие будет выполняться. Однако, если то слагаемое, соответствующее кинетической энергии, становится притягивающим. Нормальная ситуация заключается в том, что энергия связи уменьшается с увеличением числа нулей в волновой функции, а при предпочтительно иметь состояния с большим количеством нулей, чтобы воспользоваться притягивающим кинетическим членом. В этой ситуации связанные состояния будут появляться даже в присутствии отталкивающего слагаемого -волнового потенциала

6.6.1. Пионные состояния в бесконечной сферической потенциальной яме

Основные черты настоящей проблемы видны в пределе однородной среды с внутри сферического ящика радиуса Пионная волновая функция зануляется для Радиальные решения даются сферическими функциями Бесселя с угловым моментом I. Граничное условие определяет собственные числа. Волновая функция пиона удовлетворяет уравнению (6.62) с волновым числом внутри ящика. Соответствующая дискретная энергия пиона в нерелятивистском пределе равна

Мы обозначим через корень функции Бесселя с . Тогда радиальные волновые функции имеют вид . Мы интересуемся связанными состояниями, которые удовлетворяют условию

так как Корни есть для -волн, а в общем случае для больших

Из уравнения (6.64) следует, что отталкивающий потенциал не имеет связанных состояний для Точка — сингулярная точка, в которой член кинетической энергии меняет знак от отталкивания к притяжению. Для образуется бесконечное число связанных состояний. Как показано

Рис. 6.8. Схематическое поведение -связанных состяний пиона в потенциале (6.62) с и для и функцией, равной нулю для Кривые показывают изменение низших связанных состояний с для (a) Q > 0 (отталкивающая s-волна) и (б) Q < 0 (притягивающая s-волна) около точки сингулярности

на рис. 6.8, а для -состояний, порядок уровней здесь меняется на обратный: энергия связи увеличивается с ростом числа нулей, и поэтому -состояние — наименее связанное состояние.

Для притягивающего -волнового потенциала ситуация до некоторой степени другая. При ослаблении отталкивания кинетического члена за счет увеличения притягивающий потенциал может давать увеличивающееся число связанных состояний. Порядок их уровней такой, как и у стандартного локального потенциала. Это показано на рис. 6.8, б. При существует бесконечное число связанных состояний, имеющих одинаковую энергию Стандартный порядок следования состояний при меняется на противоположный.

Важно отметить, что в математическом смысле отвечает существенной особенности. Однако волновая функция и собственные значения энергии для заданных квантовых чисел меняются плавно при переходе через эту особую точку.

6.6.2. Решения для связанных состояний: физические ограничения и свойства

В подходе к собственной энергии или оптическому потенциалу, принятому в гл. 5 и в настоящей главе, мы последовательно рассматривали ядра как куски ядерной материи, т.е. предполагали, что длина волны пиона по порядку величины по крайней мере не меньше межнуклонного расстояния. Для того чтобы решения для связанных состояний имели физический смысл, должно быть

Рис. 6.9. Схематический спектр связанных состояний пиона для волнового уравнения типа (6.62). Отметим приближенное вырождение низжих состояний с максимального орбитального углового момента, совместимого с условием (6.65)

выполнено следующее условие при заданных и соответствующих

где — среднее межнуклонное расстояние. Это условие выражает тот факт, что характерное изменение волновой функции связанного пиона происходит на расстояниях, превышающих Решения, которые не удовлетворяют условию (6.65) — нефизические и должны быть опущены. Вследствие этого спектр имеет вид, показанный на рис. 6.9. Область основного состояния характеризуется почти вырожденными состояниями с орбитальным угловым моментом и четностью и т. д. до максимальной величины определенной условием (6.65).

На практике эти связанные состояния имели бы большие абсорбтивные ширины. Мнимая часть собственных энергий (6.63) дает следующие ширины для -состояний:

Используя величины параметров из набора в табл. 6.2, получаем

При эта величина составляет около 15 МэВ для типичных тяжелых элементов и примерно в два раза больше для При поглощение за счет р-волнового члена быстро увеличивается, и большая ширина делала бы эти состояния трудно обнаруживаемыми.

В заключение отметим, что эмпирические параметры оптического потенциала на пороге показывают, что система пион—ядро

не очень далека от особенности в волновом уравнении, связанной с появлением пион-ядерных связанных состояний. Следовательно, анализируя низкоэнергетические пион-ядерные взаимодействия на языке таких потенциалов, необходимо осознавать близость этих явлений.