6.2. Пион в кулоновском потенциале

6.2.1. Основное уравнение

Рассмотрим пион в статическом кулоновском потенциале, . Соответствующее уравнение Клейна—Гордона [4] в отсутствие сильных взаимодействий получается из свободного уравнения заменой

По сравнению с нерелятивистским атомом водорода это уравнение дополнительно содержит притягивательное взаимодействие релятивистского происхождения имеющее такую же радиальную зависимость, как и центробежный барьер. Оно снимает

нерелятивистское вырождение состояний с одинаковым главным квантовым числом, вызывая тонкое расщепление структуры состояний с различными

Собственные функции уравнения (6.5) получаются обычным способом:

где — сферическая гармоника, — соответствующая радиальная волновая функция. Удобно ввести величины

Таким образом, имеем

В этих обозначениях радиальное уравнение принимает вид

6.2.2. Энергии связанных состояний

Уравнение (6.9) можно решить обычным методом. Формально он идентичен анализу уравнения Шредингера, но с заменой орбитального углового момента Разложение в ряд обрывается только в том случае, если

где — главное квантовое число и угловой момент, соответственно. Следуя соотношению (6.8) и вводя

получаем, что энергия определяется выражением

Разложим (6.12) в ряд по тогда энергия

будет равна

(6-14)

Этот результат формально идентичен результату решения уравнении Дирака при замене I полным угловым моментом частицы со спином 1/2.

6.2.3. Волновые функции

Нормированные решения радиального уравнения (6.9) равны

где задается формулой (6.11), а при

Функции — это полиномы Лагерра:

Волновые функции (6.15) неортогональны, так как переменная зависит явно от квантовых чисел (п, I) каждого состояния.

6.2.4. Определение массы пиона

Энергии в кулоновском поле статического точечного заряда прямо пропорциональны массе частицы, так как масса — единственная величина размерности энергии в задаче (см. (6.12)). С этой точки зрения любое измерение энергий перехода в атоме в то же самое время является определением массы частицы.

Кулоновская задача Клейна—Гордона имеет место в пионных атомах для орбит, которые не чувствительны к сильным пион-ядерным взаимодействиям. Из-за малого радиуса сильного взаимодействия задача сводится к случаю круговых орбит с большими главными квантовыми числами

Примером служит переход в фосфоре и переход в титане. Измерения дают очень точное значение массы цитируемую в таблицах данных: (7) МэВ (т.е. погрешность составляет пять миллионных). При получении этой величины были учтены несколько незначительных поправок: вклад от поляризации вакуума, поправки на эффективную массу, экранирование электронами и т.д. В принципе, учет всех этих поправок не составляет проблемы.

6.2.5. Тесты пионного уравнения Клейна—Гордона

Релятивистские аспекты пионной кулоновской задачи наиболее очевидны в расщеплении тонкой структуры. Нерелятивистский водородный атом имеет одинаковые значения энергии для состояний с заданным квантовым числом и разными I. Это вырождение снимается притягивающим слагаемым в релятивистском уравнении (6.5). Оно наиболее важно на малых расстояниях, и поэтому выделяет орбиты, на которых пион приближается к центру настолько близко, насколько это возможно. Следовательно, спектр -состояний с заданным будет расщепляться так, что состояния с меньшим моментом оказываются более связанными. Притяжение наиболее слабо на круговых орбитах с Эти эффекты видны из формулы для тонкой структуры (6.14).

Прямое наблюдение расщепления тонкой структуры получается сравнением переходов в титане, показанных на рис. 6.3. Измеренное расщепление согласуется с ожидаемой величиной в рамках экспериментальной неопределенности в 2% (Delker et al., 1979).

Существует дополнительный релятивистский эффект в энергетическом спектре водородного уравнения Клейна—Гордона. Если пренебречь взаимодействием то получим и (6.12), (6.14) приводят к приближению

В этом приближении нет расщепления тонкой структуры. Однако по отношению к нерелятивистским энергиям здесь существует

Рис. 6.3. Наблюденное с помощью кристаллического спектрометра расщепление тонкой структуры в пионном атоме титана (Delker et al., 1979)

дополнительное выталкивание уровня, не зависящее от I, которое дается в главном порядке слагаемым

Наличие этого слагаемого отражает тот факт, что кулоновский потенциал входит как временная компонента -вектора, приводящего к члену в уравнении (6.5): это дополняет правильное релятивистское определение энергии связи в .

И релятивистский сдвиг, и расщепление тонкой структуры вносят важный вклад в любое точное измерение переходов в пионных атомах. Например, эксперименты по определению массы пиона, обсуждавшиеся в разделе 6.2.4, выполнены с точностью до . Поэтому оба этих релятивистских эффекта косвенным образом проверяются примерно с точностью до 1% по взаимному соответствию многих различных переходов, а также по совместимости с менее точными, но независимыми определениями массы пиона.

Следовательно, экспериментальные данные обеспечивают ясное наблюдение того факта, что пион в присутствии электромагнитных взаимодействий действительно удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона. На самом деле, пион — единственный мезон, для которого это было установлено строго.

6.2.6. Поведение для больших Z

Общее решение радиального уравнения (6.9) для кулоновской задачи при малых ведет себя как

с

До тех пор, пока первое из этих двух слагаемых регулярно в начале координат в решении (6.15). Однако для значений больших критического,

показатели экспонент становятся комплексными и пропорциональными величинам При этом в начале координат волновая функция имеет осциллирующее поведение, модулируемое логарифмом

где а и произвольные константы, а энергия связанного состояния уже не определяется поведением волновой функции в начале координат.

Эти особенности свидетельствуют о новой ситуации, в которой центробежное отталкивание перекрывается притяжением от слагаемого взаимодействия не зависящего от знака заряда пиона. Теперь нельзя игнорировать такое характерное для сильных полей явление, как рождение пар. Аналогичные эффекты возникают также в уравнении Дирака, если и для этого случая они были широко изучены (см. Greiner et al., 1985).

Критический заряд для равен а для он составляет Однако в реальных ядрах критические условия никогда не встречаются, даже для что обусловлено несколькими причинами. Во-первых, распределение ядерного заряда не точечноподобно, а размазано по области в несколько комптоновских длин волн пиона: кулоновский потенциал, действующий на лион в атоме, никогда не превышает 10% массы покоя пиона. Поэтому вне ядра доминирует кулоновский нерелятивистский потенциал с малыми релятивистскими поправками. И, во-вторых, внутри ядра эффекты сильного взаимодействия определяют физику пиона даже для больших