6.3. Явления сильного взаимодействия

6.3.1. Основные черты

Водородоподобная структура пионного атома искажается сильным взаимодействием пиона с центральным ядром [2]. Для состояний, которые могут быть исследованы экспериментально, атомный размер всегда велик по сравнению с радиусом ядра, так что вероятность нахождения пиона внутри ядра мала. Наглядным примером служит -уровень пионного атома 160. Пион-ядерное взаимодействие изменяет полную атомную энергию связи на 7,5%. Боровский радиус 1 s-атомного состояния 160 равен в то время как радиус ядра только хотя сдвиг уровня большой, вероятность нахождения пиона внутри ядра 160 составляет в этом случае только 0,3%.

Из-за такого малого перекрытия эффект сильного пион-ядер-ного взаимодействия может быть представлен псевдопотенциалом и рассмотрен в основных порядках как возмущение к кулоновским энергиям. В добавление к сдвигу атомного уровня будет возникать также и уширение из-за ядерного поглощения пиона. Этот комплексный "сдвиг" энергии по отношению к спектру в отсутствие сильных взаимодействий обозначается как

где сдвиг за счет сильного взаимодействия, Г — ширина поглощения. Знак определяется так, что отталкивательный сдвиг соответствует

6.3.2. Связь сдвигов энергии за счет сильного взаимодействия с длинами рассеяния

Взаимодействие пиона с ядром в атоме может рассматриваться как экстраполяция упругого рассеяния под порог. Предположим, что атомный радиус велик по сравнению с радиусом ядра. Вблизи ядра волновая функция пиона практически совпадает с волновой функцией свободного рассеяния в отсутствие кулоновских взаимодействий. Эта ситуация реализуется, пока для заданного I сильные взаимодействия дают малый сдвиг энергии. Поэтому существует приближенная, не зависящая от модели связь для малых между сдвигом атомного состояния за счет сильного взаимодействия и низкоэнергетической амплитудой пион-ядерного рассеяния в соответствующей парциальной волне. Это соответствует обычной теории эффективного радиуса, обобщенной на случай включения эффектов кулоновского поля. Мы сейчас выведем эту связь в пренебрежении релятивистскими поправками и поправками на конечный размер ядра [5].

Рассмотрим вначале случай рассеяния с на пороге в отсутствие кулоновского поля. В этом пределе амплитуда рассеяния дается (в общем случае комплексной) длиной рассеяния определяемой через пион-ядерную -волновую фазу рассеяния как

Удобно ввести короткодействующий псевдопотенциал так, чтобы борновское приближение воспроизводило эту длину рассеяния:

Аналогично в основном порядке сдвиг энергии для атомного -состояния дается борновским членом

Здесь мы предположили, что атомная волновая функция имеет нерелятивистский вид: для Сравнивая с (6.23), объемный интеграл от псевдопотенциала можно заменить длиной рассеяния

Величина водородной волновой функции для точечного заряда в начале координат равна Следовательно, равенство (6.25) может быть переписано через боровскую энергию орбиты как

где — радиус первой боровской орбиты.

Этот результат довольно просто обобщается на другие парциальные волны. Рассмотрим амплитуду рассеяния пиона с импульсом на ядре со спином нуль:

Для малых парциальные амплитуды записываются через обобщенные "длины" рассеяния как

Путем таких же рассуждений, что и для -волны, получаем связь между сдвигами энергии атомной орбиты и комплексными длинами рассеяния (Trueman, 1961; Partensky and Ericson, 1967):

при Обобщенные длины рассеяния могут зависеть также от спина ядра. В этом случае формулы остаются справедливыми и выражают сверхтонкую структуру, порожденную сильными взаимодействиями в пионном атоме.

6.3.3. Эмпирические свойства сдвигов и ширин

Сдвиги и ширины за счет сильного взаимодействия были систематически исследованы для большого числа ядер в периодической таблице элементов. Эмпирическая информация для и

Рис. 6.4. Наблюденные и вычисленные величины приведенных сдвигов энергии -уровия пиониых атомов. Сплошные кривые, проведенные на глаз, связывают результаты, полученные в оптическом потенциале (6.56) и (6.57) с использованием параметров из набора табл. 6.2. (L. Tauscher, частное сообщение). Экспериментальные точки взяты из работы Path, 1979, кроме величины для дейтрона (Bovet et al., 1985)

-состояний приведена на рис. Очевидным фактом является сильное изменение и сдвигов, и ширин с зарядом ядра Основная причина этого — характерная зависимость от кулоновской волновой функции в начале координат, которая вводит множитель т.е. для для для для -состояние. Дополнительная зависимость длины рассеяния от и А более слабая. Для -состояний она почти линейная, как видно из рис. 6.6.

С точки зрения сильного пион-ядерного взаимодействия наиболее значительным эмпирическим результатом можно считать разницу в знаках сдвигов для состояний с и 10. За исключением лишь ядра (единственного ядра, в котором число протонов больше числа нейтронов) 1 s-сдвиги (см. рис. 6.4) — всегда отталкивающие. Это фактически следует из отталкивающего -волнового пион-ядерного оптического потенциала (5.47) для симметричной ядерной материи. -сдвиги (см. рис. 6.5) — все притягивающие, что отражает факт притяжения среднего пион-нук-лонного р-волнового взаимодействия в оптическом потенциале (5.44) и (5.45). Наблюдалось, что сдвиги энергии в и -состояниях — также притягивающие. Причиной этого снова служит притягивающее р-волновое взаимодействие.

Еще одна характерная особенность данных состоит в существенном изменении 1s-сдвигов с увеличением числа нейтронов. Например, сдвиг в — притягивающий, в то время как в

Рис. 6.5. Сдвиги энергии и ширины пионных -уровней. Данные взяты из работы Poth, 1979. Сплошные кривые связывают результаты, полученные с оптическим потенциалом (6.56) и (6.57) с использованием набора параметров А из табл. 6.2. (L. Tauscher, частное сообщение)

Не он — отталкивающий: добавление одного нейтрона к изменяет знак сдвига. Аналогично, добавление дополнительного нейтрона к почти удваивает отталкивающий сдниг. Качественное происхождение этого эффекта — это отталкивающая длина

Рис. 6.6. Вещественные и мнимые части -волновых пион-нуклонных длин рассеяния, извлеченные сдвигов энергии и ширин уровней пиоиных атомов. Интерполяционные прямые линии проведены из глаз. Они ясио показывают линейную зависимость от массового числа ядра А, а также систематическое изменение с избытком нейтронов (взято из работы Hu/ner et al., 1974)

-рассеяния, известная нам уже по обсуждению -волновой собственной энергии -мезона в нейтронной материи (см. раздел 5.7.5).

6.3.4. Оценки сдвигов уровней

Для грубой оценки предположим, что ядро состоит из свободных нейтронов и свободных протонов, взаимодействующих с пионом только в первом порядке по амплитуде сильного взаимодействия. Кроме того, рассмотрим случай, в котором размер ядра мал по сравнению с эффективной длиной волны пиона в ядре. В пределе точечного ядра пион имеет один и тот же угловой момент по отношению и к ядру, и к отдельным нуклонам. Тогда пион-ядерная "длина" рассеяния в любой заданной парциальной волне есть когерентная сумма длин и -рассеяния с одинаковыми Эта "длина" согласно приближенным соотношениям (6.29), пропорциональна сдвигу энергии

Рассмотрим вначале -волны, для которых соответствующие длины -рассеяния (2.37) равны

Их когерентная сумма с поправкой на приведенную массу дает приближенное значение длины -ядерного рассеяния

Здесь мы снова наблюдаем знакомое уже сокращение в сумме протонной и нейтронной длин рассеяния для Коэффициент перед слагаемым, пропорциональным на порядок больше, чем перед слагаемым, пропорциональным А. Эта и есть причина сильной зависимости от избытка нейтронов. В частности, формула (6.31) обеспечивает качественное понимание поведения сдвигов уровней у пар обсуждавшееся в предыдущем разделе. Она также объясняет систематическое изменение длин рассеяния на рис. 6.6 при изменении

Для -волн соответствующие объемы -рассеяния, усредненные по спину, из (2.37) составляют

Их когерентная сумма с учетом поправки на приведенную массу

приближенно дает

Заметим, что -п-взаимодействие превосходит в 10 раз -взаимодействие. В этом приближении среднее пион-ядерное взаимодействие притягивающее. Эта особенность характерна для наблюденных сдвигов в состояниях с 10. В качестве примера рассмотрим

— легчайшее ядро, для которого хорошо известно экспериментальное значение -сдвига:

в то время как из (6.33) имеем

Отсюда следует, что когерентное приближение вполне пригодно в качестве первого приближения для р-волнового пион-ядерного взаимодействия в легких элементах.

Однако когерентное приближение не работает для состояний с высшими I. В случае предсказываемый -сдвиг слишком мал — в 30 раз меньше — и даже имеет неправильный знак; для предсказываемый -сдвиг на два порядка меньше экспериментальной величины. Следовательно, высшие парциальные волны в пион-нуклонном взаимодействии, такие как и -волны, не могут объяснять сдвиги состояний с Они обусловлены -волновыми -взаимодействиями в протяженном, а не в точечном ядре, что мы сейчас и обсудим.

6.3.5. Эффект конечного размера ядра

До этого момента обсуждение предполагало точечность ядра, расположенного в центре пионного атома. Следуя Эриксону и др. (Ericson et al., 1969) мы теперь обратимся к характерным эффектам конечности размера распределения ядерной плотности. Из конечности размера ядра сразу же следует, что угловые моменты пион-нуклонных и пион-ядерных парциальных волн уже больше не совпадают: и -волновые -взаимодействия теперь дают вклад также в парциальные пион-ядерные волны с высшими

Чтобы исследовать этот момент более детально, мы напомним результаты раздела 5.4, которые привели к пион-ядерному оптическому потенциалу V или собственной энергии пиона . В первом порядке по ядерной плотности собственная энергия пиона дается выражением где — усредненная по

спину и изоспину -амплитуда. Для и р-волнового -взаимодействий она имеет вид (5.43)

Отсюда для порогового оптического потенциала в -пространстве имеем

В случае точечного ядра с борновское приближение для такого потенциала дает когерентную сумму длин рассеяния и объемов рассеяния для как в (6.31) и (6.33). Следовательно, в этом приближении играет роль псевдопотенциала. Естественно обобщить псевдопотенциальный подход на протяженное ядро, используя общий вид потенциала (6.37), но с , замененными на их эффективные параметры из -рассеяния Б и

Идея заключается в том, что борновское приближение с дает параметры пион-ядерных длин рассеяния не только для , но также и для произвольного I. Энергетический сдвиг, вызываемый этим псевдопотенциалом, равен

где — кулоновская волновая функция пиона.

Предположим теперь, что волновая функция пиона ведет себя в области ядра как

Для сферически симметричной плотности это приводит к

Более того, чтобы достичь качественного понимания, предположим, что ядро — это однородная сфера с плотностью и радиусом

В этом случае

Отметим сначала, что в этом приближении зависит только от -волнового параметра: 1s-сдвиги и ширины не зависят от р-волнового -взаимодействия.

Другая интересная особенность — это зависимость от радиуса ядра Для и малого слагаемое, пропорциональное с, доминирует, так как Поэтому естественно, что сдвиг -уровня в легких элементах, так же как и сдвиги с высшими I, определяются р-волновой притягивающей силой взаимодействия с. Однако отталкивающий -волновой вклад изменяется как более высокая степень радиуса и будет в конце концов для достаточно больших радиусов превалировать над р-волновым притягивающим вкладом. Согласно (6.42) условием для этого является равенство

Для экспериментально определенных В и с получаем

Начало этого эффекта ясно следует из экспериментальных данных как насыщение сдвига около быстро увеличивающегося в других случаях. Более прямой способ увидеть это явление заключается в изучении приведенного сдвига энергии показанного на рис. 6.7. Такая процедура убирает основной кулоновский множитель и главную -зависимость сдвига. Видно, что приведенный сдвиг плавно экстраполируется с изменением знака

Рис. 6.7. Приведенные сдвиги уровней как функция массового числа ядра А. Интерполирующая прямая линия проведена на глаз, она хорошо согласуется с вычислениями в оптическом потенциале (L. Tauscher, частное сообщение, данные из работы Ericson е. al., 1969)

около в согласии с более аккуратными вычислениями. Изменение знака было подтверждено экспериментально для (Leon et aL, 1976). Это поведение демонстрирует одновременную важность и и -волновых -взаимодействий в атомных состояниях с .

6.3.6. s-волновые сдвиги и длины рассеяния в легчайших ядрах

Качественная оценка (6.31) для длины рассеяния может быть в значительной степени улучшена в легчайших элементах путем включения члена с двукратным рассеянием, как это было сделано для дейтрона в разделе 4.4 (Moyer and Koltun, 1969). Поскольку и эксперимент, и теория в этом случае очень точны, необходимо учитывать не только поправки на приведенную массу, как для дейтрона, но так же и поправки на движение нуклонов в ядре.

Обобщение дейтронного результата (4.26) на случай в отсутствие поправок на связь дает

Здесь — средняя величина обратного относительного расстояния между двумя нуклонами в ядре. Последний член представляет собой поправку на движение нуклонов. Как и в случае дейтрона, здесь заслуживает внимания тот факт, что главная часть члена с двукратным рассеянием происходит от процесса перезарядки.

Для ядер соответствующая длина рассеяния равна

Поправка на движение нуклонов появляется от р-волнового рассеяния: в добавление к эффекту приведенной массы необходимо учесть скорость нуклона заменив в р-волновой амплитуде импульс пиона на После усреднения по углам остаются только члены, пропорциональные и для поправки получаем выражение

обозначив Численные результаты для легких ядер в сравнении с экспериментальными значениями длин рассеяния приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Вклады от многократного рассеяния в длины рассеяния в единицах согласно формулам (6.45)-(6.47) в сравнении с экспериментальными значениями, полученными из пиоииых атомов . Для соответственно, были использованы следующие параметры:

Согласие с экспериментом — удивительно хорошее с точки зрения простоты этого подхода. Отклонения от предела статических нуклонов должны вызывать дополнительные поправки на связь для легких ядер. Ожидается, что эти эффекты будут малы: механизм подавления, знакомый нам из раздела 4.4 для дейтрона, с систематическими сокращениями в сумме членов однократного и двукратного рассеяний должен иметь место и для других легких ядер. Существуют также дополнительные дисперсные поправки, связанные с поглощением пиона.