8. ПИОН-НУКЛОННАЯ S-МАТРИЦА И АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ

(см, Hohler, 1983)

(а) Мандельстамовские кинематические переменные

Рассмотрим процесс где мы обозначим -импульсы нуклона и пиона в начальном и конечном состояниях соответственно как Мандельстамовские переменные определяются следующим образом:

Для рассеяния с импульсами, находящимися на массовой поверхности, эти переменные связаны с массами

пиона и нуклона соотношением

В системе центра масс пиона и нуклона полная энергия равна

где . В этой системе и и связаны с углом рассеяния в:

В лабораторной системе кинетическая энергия пиона равна

(б) Инвариантные амплитуды пиN-рассеяния

Если задана плотность гамильтониана взаимодействия которая описывает элементарное взаимодействие пион-нуклонной системы, то -матрица равна

Здесь обозначает упорядочение по времени операторов мезонных и пионных полей. Инвариантная Т-матрица перехода связана с -матрицей соотношением

— нуклонные дираковские спиноры, включающие изоспин; обозначают изоспин пиона в декартовой системе. Мы также используем обозначение

С использованием проекционных операторов эта Г-матрица раскладывается по каналам с изоспином 1/2 и 3/2:

Альтернативный способ записи Г получается из соотношения

где

называются симметричной и антисимметричной изоспиновыми амплитудами. Дополнительные инварианты могут быть построены комбинацией у-матриц и -импульсов. Их можно редуцировать, используя уравнение Дирака и закон сохранения -импульса. Наиболее общий вид сохраняющей четность -матрицы на массовой поверхности:

(в) Кроссинг-симметрия

Кроссинг-симметрия относится к свойствам А и В при перестановке переменных и и. Для изоспин-четных и изоспин-нечетный амплитуд мы имеем

(г) Связь между Т-матрицей и дифференциальным сечением

Дифференциальное сечение в системе центра масс выражается через Г-матрицу как

где включают спиновые и изоспиновые индексы, относятся к импульсу нуклона в системе центра масс

(д) Амплитуда рассеяния

Связь с Г-матрицей

Амплитуда рассеяния в системе центра масс пион-нуклон определяется как

Здесь — двухкомпонентный нуклонный спинор Паули со спиновыми и изоспиновыми индексами, так что является оператором

и в спиновом и в изоспиновом пространствах. Мы также используем обозначение

Связь с инвариантными амплитудами

Связь между и инвариантными амплитудами А и В, определенными в (П8.11), дается выражением

где

(е) Разложение по парциальным волнам

Амплитуда имеет части с переворотом спина и без:

где — единичный вектор по нормали к плоскости рассеяния

Дифференциальное сечение, усредненное по спину, равно

Амплитуда может быть разложена на вклады от каналов с различными орбитальным угловым моментом I и полным угловым моментом

Здесь — соответствующие проекционные операторы для полного момента приведенные в

Получаем

где — полиномы Лежандра, (см. Приложение 17). Это разложение можно скомбинировать с разложением по изоспину, используя изоспиновые проекционные операторы уравнения (П3.15):

Для каждой парциальной волны фазовый сдвиг (вообще говоря, комплексный) связан с

где параметр неупругости определен как

(ж) Соотношения для проекционных операторов

Проекционные операторы углового момента

Проекционные операторы для пион-нуклонного состояния с полным угловым моментом при заданном орбитальном угловом моменте равны

-волновые проекционные операторы

Для проекционные операторы равны

Матричное представление для углового момента

Рассмотрим ортогональный набор декартовых единичных векторов Пусть соответствующий

набор сферических векторов:

— собственные вектора орбитального углового момента I с

Декартовы матричные элементы углового момента I равны

Соотношения для -волновых проекционных операторов

Следующие соотношения получены с операторами перехода от спина 1/2 к спину 3/2, определенными в (П4.39),

Комбинированные спин-изоспиновые проекционные операторы для -волн

Проекционный оператор для собственного пион-нуклонного р-волнового канала определен как

где — изоспиновьш проекционный оператор (П3.15). Выполняются соотношения

Список литературы

(см. скан)