12. АЗБУКА ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД

(См. Burkhardt, 1969; Ericson and Locher, 1970).

Рассмотрим упругое рассеяние вперед частицы на мишени М (рис. П12.1). Обычно удобно обсуждать этот процесс в лабораторной системе. Амплитуда рассеяния вперед является функцией только одной переменной энергии со.

Рис. П12.1. Рассеяние вперед частицы на частице М в лабораторной системе

(а) Основные предположения

Первая гипотеза (аналитичность): амплитуда является аналитической функцией комплексной энергии со для всех со, кроме определенных особенностей. (Это свойство очевидно всегда, когда можно описать сходящейся теорией возмущений.)

Вторая гипотеза (причинность): нет сингулярностей при Вторая гипотеза доказана только для некоторых

специальных случаев, например для -рассеяния, но полагают, что она верна всегда.

Элементарный интуитивный физический "вывод" заключается в следующем. Рассмотрим узкий волновой пакет в начальном состоянии, взаимодействующий с мишенью. Рассеянная волна дает линейный отклик в удаленном детекторе в момент времени Причинность требует, чтобы отклика не было до времени определяемого приходом нерассеянной волны. Амплитуда рассеяния вперед фактически является фурье-образом функции отклика, зависящей от времени —

который, в силу причинности, равен

Этот интеграл существует также и для комплексных со с мнимой частью поскольку наличие делает интеграл более сходящимся. Поэтому функция аналитична в верхней полуплоскости.

(б) Основное дисперсионное соотношение

По предположению амплитуда рассеяния аналитична для Интегрируя вдоль вещественной оси и замыкая контур на бесконечности выше вещественной оси (см. рис. П12.2), из теоремы Коши получаем

Если интеграл по бесконечному контуру мал настолько, что им можно пренебречь, то вклад дает только интеграл по вещественной

Рис. П12.2. Путь С в комплексной -плоскости

оси. В пределе вещественная и мнимая части быть разделены:

Здесь в правой части равенства стоит интеграл в смысле главного значения. Эта связь между вещественной и мнимой частями амплитуды является основным дисперсионным соотношением. Характерно, что это соотношение включает и положительные, и отрицательные частоты. Главный остающийся шаг состоит в связи с измеряемыми или вычисляемыми величинами для вещественных

(в) Вычитания

Часто интеграл в расходится из-за того, что вклад по бесконечному контуру не исчезает. Однако любую функцию от которая аналитична в верхней полуплоскости, можно рассматривать так же, как и в уравнении (П12.4), и использовать ее вместо Мы можем, в частности, выбрать выражение с лучшей сходимостью: где

— произвольная фиксированная энергия. Для этой функции уравнение (П12.4) принимает вид

Это равенство называют дисперсионным соотношением с вычитанием. Обычно уравнение (П12.5) переписывается в эквивалентном виде

Его можно получить также прямо формальным вычитанием из уравнения (П12.4).

Если это необходимо, то дальнейшую сходимость можно получить повторением вычитаний. Энергия при которой производится вычитание, может быть любой энергией, пригодной для практических или теоретических целей. На практике часто выбирают энергию физического порога для упругого рассеяния. Цена, которую приходится платить за улучшение сходимости с вычитанием — введение дополнительной константы которую необходимо определить каким-либо другим способом.

(г) Соотношение кроссинга

Амплитуда рассеяния для частицы формально связана с амплитудой рассеяния ее античастицы на той же мишени (см. рис. П12.3) соотношением кроссинга

где — энергия налетающей Частицы в лабораторной системе. Обозначение означает античастицу массы с противоположным 4-вектором и с обратным спином. Это соотношение связывает амплитуды с положительными и отрицательными частотами. Из (П12.7) следует, что

Рис. П12.3. Общие диаграммы, представляющие (а) прямое (-канал, частица) рассеяние и обменное (-канал, античастица) рассеяние

Перекрестный канал играет центральную роль также и в нерелятивистских явлениях. Фактически существует формальная эквивалентность между античастицей прямого канала и частицей обменного канала. Этот канал особенно важен, когда рассеиватели однаковы или когда налетающая частица и мишень имеют одинаковые составляющие, которые должны иметь соответствующим образом симметризованные или антисимметризованные амплитуды. На рис. показано, что обменный и античастичный каналы топологически эквивалентны для промежуточного состояния

Рис. П12.4. Топологическая эквивалентность (а) обменного рассеяния (-канал) и прямого рассеяния античастицы через промежуточное состояние

(д) Определение F(w) (физическая область)

Комплексную амплитуду в дисперсионном соотношении можно прямо измерить для Мнимая часть амплитуды обычно получается с высокой точностью из полного сечения по оптической теореме:

Для античастицы с энергией импульсом и противоположным спином имеем

Из уравнения следует, что

Вещественная часть амплитуды может быть получена:

1) из прямого фазового анализа упругого рассеяния;

2) из интерференции кулоновской и ядерной амплитуд в области малых углов для упругого рассеяния заряженных частиц.

(е) Нефизическая область (|w| < m)

Мнимая часть отлична от нуля только для тех , которые соответствуют возможным промежуточным состояниям, удовлетворяющим законам сохранения (в частности, сохранению энергии—импульса).

Нефизическая область формально соответствует отрицательным кинетическим энергиям для начальных частицы и античастицы. Следовательно, масса промежуточных состояний в этой области должна быть расположена в интервале

Промежуточные состояния имеют различные квантовые числа в -канале (прямой) (рис. П12.5) и -канале (обменный). Например, в -рассеянии барионное число -канального дейтронного полюса равно двум, в то время как барионное число -канальных полюсов и разрезов — нулю.

Если промежуточное состояние имеет хорошо определенную массу то амплитуда сингулярна при энергии даваемой условием, что инвариантные энергии или и равны

Рис. П12.5. Промежуточное состояние в -канале

Знак или - соответствует -канальному или -канальному (обменному) полюсу. Точка сингулярности дает слагаемое в пропорциональное -соп). Поэтому, интегрируя в уравнении получаем в дисперсионном соотношении полюс, пропорциональный

Положение полюсов можно выразить в виде, наиболее удобном для ядерных задач. В качестве примера рассмотрим рассеяние пиона или фотона. Выразим массу промежуточного состояния через энергию возбуждения

Для возбуждений с положение полюса соответствует

где + и - относятся к s- и -каналам, соответственно.

В общем случае промежуточные состояния более сложны, чем одночастичные состояния, которые приводят к полюсам. Две или более частиц в промежуточном состоянии имеют дополнительную свободу в относительной кинетической энергии, поэтому положение особенности распределено согласно относительному движению частиц. Это приводит к непрерывному интегралу по энергии в дисперсионном соотношении, т.е. дает разрез, начинающийся на пороге, отвечающем нулевой относительной энергии.

(ж) Нерелятивистское потенциальное рассеяние

Рассмотрим рассеяние бесспиновой частицы на центральном статическом потенциале. Уравнение Шредингера имеет вид

с кинетической энергией . В общем случае могут существовать связанные состояния с энергией связи Эти связанные состояния проявляются как полюсы в дисперсионном соотношении с вычетами (резонансы с отрицательной энергией).

Вычитательной константой является просто борновский член для амплитуды рассеяния вперед, получаемый в теории возмущений. Дисперсионное соотношение для амплитуды потенциального рассеяния вперед имеет вид

Этот результат предполагает, что последнее слагаемое в (П12.16) исчезает в пределе и для больших Т амплитуда дается борновским приближением ("вычет на бесконечности").

Вычеты в полюсах получаются из волновых функций связанных состояний с четностью Для больших волновые функции имеют асимптотический вид

Функция юкавского вида (1112.17) имеет полюс при с вычетом, пропорциональным квадрату нормировки в асимптотике:

Очень важная деталь этого результата заключается в смене знака у полюсного члена в зависимости от четности связанного состояния. Происхождение знака обусловлена тем, что волновое число в полюсе есть мнимое Поэтому центробежный барьер дает вклад который имеет знак (Вообще, такое изменение знака с четностью характерно также для полюсов, происходящих от мезонных обменов. Примером является противоположный знак вкладов скалярного и псевдоскалярного мезонных обменов.)

Окончательное дисперсионное соотношение может быть теперь выписано с использованием соотношения для оптической теоремы:

Следует отметить, что асимптотическая нормировочная константа связанного состояния формально аналогична константе связи.

Список литературы

(см. скан)