4. СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ И ЛАГРАНЖИАНЫ

(а) Свободное пионное поле

Лагранжиан

Лагранжиан свободного пионного поля имеет вид

где обозначает трехкомпонентное поле в декартовых изоспиновых координатах. Для комплексных зарядовых компонент , введенных в (П3.11), мы имеем

Канонический вариационный принцип приводит к уравнению Эйлера—Лагранжа

из которого вновь получаем уравнение Клейна—Гордона для свободного поля

Вторично квантованное пионное поле

Общее нормированное решение этого уравнения имеет вид

с инвариантным фазовым объемом для бозонов

и

где

Величины на языке вторичного квантования интерпретируются как оператор уничтожения пиона с зарядом -А и -импульсом и оператор рождения пиона с зарядом А и тем же импульсом. В декартовых изоспиновых обозначениях запишем

согласно (П3.11) и (П3.12). Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям Бозе

Однопионное состояние с импульсом и зарядом А обозначается как Оно строится согласно равенству

где — вакуум, определенный как Это состояние нормировано следующим образом:

Гамильтониан и числа заполнения

Гамильтониан, отвечающий свободному пионному полю, имеет вид

где — плотность чисел заполнения в импульсном пространстве,

для данного вида пионов.

Пионный ток Величина

определяет сохраняющийся ток с зарядом

Для того, чтобы избежать бесконечных величин вакуумного среднего, подразумевается, что во всех физических величинах (гамильтонианы, токи и т.д.) операторы поля должны быть нормально упорядочены, т.е. аннигиляционные операторы должны всегда стоять справа. Дополнительные детали можно найти в книге Ициксона и Зюбера (Itzykson and Zuber, 1980).

(б) Свободное дираковское поле

Лагранжиан

Лагранжиан свободного дираковского поля имеет вид

Из вариационного принципа

получается уравнение Дирака

Вторично квантованное дираковское поле

Общее решение уравнения Дирака имеет вид

где — проекция спина, Операторы отвечают рождению и уничтожению дираковской частицы с данным спином и -импульсом в то время как соответствуют рождению и уничтожению античастицы. Отличны от нуля следующие антикоммутаторы:

Свободные нуклонные состояния получаются как

с нормировкой

Дираковская волновая функция

Четырехкомпонентные спиноры с положительной и отрицательной энергией и и являются решениями уравнений

Они удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности:

где Здесь мы следуем определениям Бьеркена и Дрелла (Bjorken and Drell, 1965).

Проекционные операторы

Проекционные операторы для состояний с положительной и отрицательной энергией определены как

Они выражаются через компоненты спинора следующим образом:

Поэтому соотношение полноты имеет вид

Свободные дираковские спиноры

Свободный спинор (с положительной энергией) задается как

где двухкомпонентный спинор Паули с

Спинор античастицы связан с и зарядовым сопряжением:

где — произвольный фазовый множитель и — матрица Дирака

(в) Свободное поле со спином 3/2

Уравнение Рариты—Швингера

Поле со спином 3/2, описывающее, например, свободную -изобару, является спинорно-векторным полем удовлетворяющим уравнению

с дополнительным условием

Эти уравнения называются уравнениями Рариты—Швингера. Из них следует, что

Спиноры Рариты—Швингера

Спиноры Рариты—Швингера удовлетворяют следующим уравнениям в импульсном пространстве:

Эти спиноры могут быть построены как комбинации дираковских (спин 1/2) спиноров с векторами отвечающими спину 1. В системе покоя частицы исчезает и . В сферическом представлении мы вводим базис

Общий вид получается переходом из системы покоя частицы в любую лоренцеву систему (см. например, Pilkuhn, 1979):

Отсюда окончательно имеем

Проекционные операторы спина 3/2 Проекционный оператор

принимает вид

Эта запись проекционного оператора не является наиболее общей. Оператор имеет именно такой вид только если частица находится на массовой поверхности. В статическом пределе проекционный оператор сводится к

Операторы перехода от спина 1/2 к спину 3/2

Проекционный оператор может быть выражен через операторы перехода от спина 1/2 к спину 3/2, определенные как

Статический проекционный оператор имеет вид

(см. также (П8.32)).

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)