16. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ, НЕЙМАНА И ГАНКЕЛЯ

(а) Дифференциальное уравнение

Сферические функции Бесселя являются решениями дифференциального уравнения

б) Определения

Решение регулярно в начале координат, в то время как функция Неймана нерегулярна. Расходящаяся и сходящаяся волны определяются сферическими функциями Ганкеля

(в) Нормировка и асимптотическое поведение для больших z

(г) Предел малых z

где

(д) Производящая формула

Сферические функции Бесселя и Неймана получаются из функции с того же сорта по формуле

(е) Явные выражения для ... в низших порядках

(ж) Соотношение для вронскиана

Вронскиан регулярного и нерегулярного решений:

(з) Рекуррентные соотношения

Любая линейная комбинация из удовлетворяет соотношениям

(и) Интегральные выражения

Существуют следующие интегральные соотношения:

и

где — функция Лежандра второго рода (П17.7).

(к) Разложение плоской волны

Плоская волна разлагается по полиномам Лежандра и сферическим функциям Бесселя следующим образом:

С помощью теоремы сложения для сферических гармоник можно записать это разложение в произвольной системем координат:

(л) Разложение расходящейся волны

Функция Грина имеет следующее разложение по сферическим гармоникам:

где введены обозначения: Соответствующее разложение функции юкавского вида (П5.16) получается заменой