7.2. Упругое рассеяние при низких энергиях

7.2.1. Борновское приближение

Как и в случае пионных атомов, наиболее яркие черты пион-ядерного рассеяния при низких энергиях определяются и р-волновым -взаимодействием. Исходным пунктом снова является оптический потенциал (6.56), видоизмененный так, чтобы включить зависимость параметров от энергии [3].

Благодаря относительной слабости низкоэнергетического взаимодействия качественные черты амплитуды пион-ядерного рассеяния проявляются уже в борновском приближении. Для ориентировки рассмотрим оптический потенциал в главном порядке (6.48) для ядра с насыщенного по спину

Это выражение включает зависимость эффективных и р-волновых параметров от энергии пионов . В качестве первого шага опустим все кинематические и абсорбтивные поправки к уравнению (7.1). Тогда борновская амплитуда дается выражением

где

— фурье-образ ядерной плотности при переданном импульсе

Дифференциальное сечение в этом приближении есть

Входящий сюда угол в рассеяния в с.ц.м. пион—ядро определяется соотношением

так что

На пороге параметры являются действительными. Выше порога у них появляются мнимые части, которые в низкоэнергетической области малы по сравнению с действительными частями.

Дифференциальное сечение разделяется на два сомножителя. Первый из них — это квадрат ядерного формфактора который плавно меняется на характерном интервале импульса где — радиус ядра. Второй сомножитель вносит дополнительную угловую зависимость эффективной -амплитуды. Этот член не зависит от конкретного ядра и приводит к минимуму в дифференциальном сечении при

При МэВ поведение борновской амплитуды определяется р-волновым -рассеянием. В отсутствие -волнового вклада на любом ядре борновское сечение было бы пропорционально с минимумом при . Согласно соотношению (7.6) отталкивательное -волновое взаимодействие сдвигает минимум

Рис. 7.1. Угловые распределения упругого рассеяния -мсзонов на при МэВ. Стрелки указывают положение минимумов (из работ Crowe et al., 1969; Dytman et al., 1978; Malbrough et al., 1978)

из к меньшим углам, поскольку в то время как притягивательное взаимодействие сдвигает минимум к

Данные по рассеянию на насыщенных по спину лёгких ядрах при МэВ (рис. 7.1) показывают характерный минимум при в» 65° независимо от конкретной мишени. Этот минимум не может иметь дифракционное происхождение, так как тогда для лёгких ядер ему соответствовал бы универсальный радиус около . Из этих данных можно сделать вывод, что -волновое взаимодействие при такой энергии является отгалкивательным, что согласуется с отгалкивательным характером -волнового взаимодействия на пороге, наблюдаемым в пионных атомах. В обоих случаях необходима замена из-за малости получаемой из свободного -рассеяния.

Для случая чисто действительной амплитуды сечение в минимуме равно нулю. Поэтому глубина минимума является мерой мнимой части Величины , полученные из данных по свободному -рассеянию, малы. Их использование приводило бы к появлению очень глубокого минимума в дифференциальном сечении что противоречило бы экспериментальным данным. Это ещё раз, так же как в пионных атомах, указывает на важность абсорбтивных вкладов.

7.2.2. Кинематический эффект: преобразование угла

При описании углового распределения упругого рассеяния при низких энергиях встречается преобразование -амплитуды из её системы центра масс (с.ц.м. ) в систему центра масс пион—ядро (с.ц.м. ). Соответствующие кинематические поправки для рассеяния вперёд уже были введены в разделе 6.4.3 для пионных атомов. Для низкоэнергетического рассеяния заметный дополнительный эффект возникает от преобразования угла рассеяния, к обсуждению которого мы сейчас переходим (Thies, 1976).

Усредненная по спину амплитуда -рассеяния в с.ц.м. имеет структуру

Мы хотим выразить эту амплитуду в с.ц.м. , где -импульсы пиона и нуклона обозначаются соответственно как Преобразование Лоренца даёт

где — полная энергия в с.ц.м. . Для пионов малой энергии и нерелятивистских нуклонов это выражение сводится к

где

Для наших целей это приближение справедливо с точностью до нескольких процентов. Начальный и конечный импульсы нуклона отличаются от соответствующих импульсов внутриядерного движения (т.е. в системе покоя ядра) на вклад движения ядра как целого:

Введём средний импульс внутриядерного движения нуклона

и передачу импульса

Выразим теперь через используя соотношение (7.9) и последующие. Опуская члены порядка после усреднения по внутриядерному движению с получим

Кроме того, амплитуды в с.ц.м. и в с.ц.м. як отличаются на общий множитель е. Это легко увидеть, если вспомнить, что полное сечение инвариантно и связано с амплитудами рассеяния в обеих системах соотношением

Объединяя эти результаты, получим оптический потенциал первого порядка с учётом кинематических поправок:

Это выражение является непосредственным обобщением уравнений (6.51) и (6.53) для пионных атомов, за исключением последнего члена, который возникает как фурье-преобразование от . В пионных атомах эффект этого члена может быть включен в малую (порядка 10%) перенормировку параметров поглощения Во и Со. Однако в случае пион-ядерного упругого рассеяния он существенно изменяет угловое распределение. Чтобы

увидеть это, рассмотрим борновскую амплитуду для потенциала (7.16)

Как было показано в уравнении (7.6), дифференциальное сечение имеет минимум, который теперь расположен при

Как и раньше, мы предположили, что мнимые части и со пренебрежимо малы. Оценим используя эффективные параметры близкие к параметрам из пионных атомов (см. раздел 6.5.2). При МэВ получаем , что весьма близко к экспериментально наблюдаемому положению минимума на рис. 7.1. В пренебрежении кинематической поправкой, т.е. используя мы получили бы вместо этого . Это указывает на необходимость включения дополнительного члена в уравнении (7.16) в любом реалистическом анализе данных по упругому пион-ядерному рассеянию.

7.2.3. Оптический потенциал при низких энергиях

Пион-ядерный потенциал в области низкой энергии МэВ, за исключением дополнительных кинематических поправок, аналогичен потенциалу для пионных атомов. Упростим рассмотрение пороговой области, опустив малые несущественные члены. Получим

Зависящие от энергии комплексные и -волновые параметры есть

где верхний и нижний знаки относятся соответственно к и -рассеянию. Здесь

и

причём в пределе ферми-газа

где — фермиевский импульс. Так же как и в пионных атомах, имеются важные абсорбтивные двухнуклонные члены

В р-волновой абсорбтивной части учтено угловое преобразование, это дало член в уравнении (7.19). При во вкладе в от двукратного рассеяния сделана замена что позволяет правильно описать распространение выходящей сферической волны.

Параметры однократного рассеяния и а возникают из и р-волновой -амплитуд. За исключением они слабо зависят от энергии в низкоэнергетической области МэВ. В пион-ядерном рассеянии мнимые части этих амплитуд представляют некогерентную сумму квазисвободных рассеяний на отдельных нуклонах. Учет энергии связи в ядре и приципа Паули уменьшает область фазового пространства, доступную нуклонам отдачи, по сравнению с процессом на свободном нуклоне. Вследствие этого малые величины и др. становятся ещё меньше по сравнению с доминирующими абсорбтивными членами, даваемыми

Для того чтобы получить дифференциальное сечение упругого рассеяния нужно решить уравнение Клейна—Гордона с оптическим потенциалом при наличии кулоновского потенциала распределённого заряда ядра

Здесь мы пренебрегли изменением потенциала сильного взаимодействия за счёт кулоновского поля. В отсутствие кулоновского потенциала амплитуда рассеяния равна

Таблица 7.1. Типичные параметры оптического потенциала (7.19), определенные из подгонки данных по пионным атомам и по рассеянию при низких энергиях (из Carr et id., 1982). Заметим, что в -атомном случае эквивалентные результаты получаются, уели взять не меняя значений других параметров (см. для сравнения табл. 6.2)

а дифференциальное сечение

В реальных расчетах, конечно, кулоновский потенциал нужно учитывать.

Рис. 7.2. (см. скан) Угловые распределения упругого рассеяния -мезонов на разных ядрах при . Сплошные кривые получены при использованнн оптического потенциала (7.19) с параметрами из табл. 7.1 (из работы Carr et al., 1982)

Пользуясь таким методом, можно получить последовательное описание пионных атомов, а также сечений упругого пион-ядерного рассеяния и реакций по всей периодической системе. Как и ожидалось, параметры эмпирического оптического потенциала слабо зависят от энергии. Типичный набор параметров приведен в табл.

7.1. Как видно из рис. 7.2, эти параметры дают превосходное описание дифференциальных сечений упругого рассеяния. Хорошо воспроизводятся также сдвиги энергии и ширины пионных атомов (указанные здесь величины пороговых параметров немного отличаются от приведенных в табл. 6.2, в основном из-за введения дополнительного члена в потенциал (7.19)).

Абсорбтивную часть оптического потенциала нельзя получить однозначно, исходя только из данных по упругому рассеянию. Для ее эмпирического определения требуется также дополнительная информация по сечениям поглощения и реакций, к обсуждению которых мы и переходим.

7.2.4. Сечения реакций и оптический потенциал

Сечение реакции включает все процессы, выводящие поток падающих частиц из упругого канала, и выражается через мнимую часть оптического потенциала:

где — искаженная пионная волновая функция, удовлетворяющая уравнению Клейна—Гордона (7.23).

Сечение реакции является суммой абсорбтивного и квазиупругого сечений:

Абсорбтивное сечние учитывает все процессы, в конечном состоянии которых отсутствует пион. Сечение квазиупругого рассеяния включает все процессы с пионом в конечном состоянии, за исключением упругого рассеяния.

Поглощение. В низкоэнергетической области в сечении реакции доминирует поглощение, которое даже при МэВ дает 75— 80% От. В принципе, сюда входят и процессы, в которых перед поглощением пион неупруго рассеивается. Однако большая длина свободного пробега пиона при низких энергиях приводит к тому, что такие неупругие перерассеяния несущественны. Поэтому можно ожидать, что сечение поглощения связано в основном с лидирующими процессами двухчастичного захвата. Это подтверждается и более подробными расчетами.

Тогда, по аналогии с уравнением (7.19), может быть вычислено по абсорбтивной части оптического потенциала

В случае оптического потенциала (7.19) величина состоит из тех частей, которые содержат в первом порядке.

Для иллюстрации основных свойств рассмотрим вначале упрощенный вид оптического потенциала

Интегрированием по частям получим

Ориентировочное представление о величине сечений поглощения для легких ядер можно получить в борновском приближении с . С учетом кинематических поправок (7.22) находим

где эффективная плотность определена как

Это выражение обладает характерными чертами сечения поглощения показанного на рис. 4.6. При самых низких энергиях доминирует -волновое поглощение с типичным поведением Вблизи МэВ начинает преобладать р-волновое поглощение, которое дает основной вклад при более высоких энергиях. При МэВ, если использовать параметры табл. 7.1, сечение поглощения приближенно равно

где Для типичного значения эффективной плотности эта простая оценка для легких ядер дает правильный порядок величины.

Рис. 7.3. (см. скан) Зависимость от энергии сечений поглощения пионов разными ядрами. Сплошные и штриховые кривые получены на основе оптического потенциала (7.19) с использованием, соответственно, параметров из табл. 7.1 и параметров, выведенных из данных по пионным атомам (из работы Carr et al., 1982)

Реалистические расчеты, использующие уравнение (7.28) и параметры поглощения из табл. 7.1, достаточно хорошо воспроизводят измеренные сечения поглощения при низких энергиях, как это видно из рис. 7.3. Из приближенного рассмотрения, ведущего к уравнению (7.31), ясно, что такой метод налагает ограничения на комбинацию , но не дает возможности отдельно определить . Заметим, что параметры, взятые из пионных атомов, завышают сечения поглощения в области энергий 20—60 МэВ. С учетом приближенной пропорциональности и параметров поглощения это указывает на некоторое уменьшение суммы с ростом энергии.

Квазиупругие процессы. Разность между сечением поглощения и сечением реакции при низких энергиях связана с процессами квазиупругого рассеяния, в котором доминирует одноступенчатое квазиупругое -рассеяние в ядре. По аналогии с расчетом сечение квазиупругого рассеяния выражается в виде

Здесь квазиупругая часть оптического потенциала, представляющая некогерентный вклад процессов -рассеяния внутри ядра. 6 главном приближении дается как раз мнимой частью потенциала первого порядка Для иллюстрации рассмотрим снова результат борновского приближения с учетом уже знакомых кинематических поправок, который получается из уравнения (7.17) при

В главном приближении даются фазами пион-нуклонного рассеяния. Однако следует делать поправки на то, что рассеяние происходит в ядерном веществе. В частности, фазовое пространство в конечном состоянии уменьшается из-за действия принципа Паули (Goldberger, 1948). С параметрами из табл. 7.1 получаем, например, МэВ) , что составляет только около одной трети при той же энергии. Отношение падает менее чем до 0,1 при МэВ. Малость в значительной степени связана с сильным подавлением по сравнению с их свободными значениями вследствие выполнения принципа Паули. Например, при МэВ этот фактор подавления составляет 0,3.