3.11. Мезонный обмен и дисперсионные соотношения для рассеяния вперед

В разделах 3.9 и 3.10 мы обнаружили, что модели однобозонного обмена и -обмена обеспечивают успешное описание -взаимодейсгвия. Сейчас мы исследуем, как можно получить недвусмысленное экспериментальное подтверждение этих обменных механизмов в различных членах потенциала. Результат может быть достигнут разными способами. Мы, например, нашли в разделе 3.8, что фазовые сдвиги в высших парциальных волнах тесно связаны с потенциалом взаимодействия в четко определенных областях -пространства. Мы использовали этот факт, чтобы получить основание для потенциала ОПО. Такой же метод с соответствующей комбинацией амплитуд может быть применен и для получения прямой информации о других механизмах обмена.

Альтернатива заключается в использовании дисперсионных соотношений для рассеяния вперед, чтобы выделить каналы обмена с определенными квантовыми числами. Полезность этой техники, к которой мы сейчас и обратимся, легко понять исходя из нерелятивистской потенциальной теории. Краткое введение в дисперсионные соотношения для рассеяния вперед приведено в Приложении 12.

3.11.1. Дисперсионное соотношение для потенциального рассеяния вперед

Рассмотрим сначала рассеяние на нерелятивистском статическом потенциале Для простоты пренебрегаем спином и предполагаем, что в системе не существует связанных состояний. Дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния вперед при кинетической энергии связывает вещественную и мнимую части амплитуды соотношением

где введена переменная символ обозначает интеграл в смысле главного значения. Борновская амплитуда — это константа, равная интегралу от потенциала по объему,

3.11.2. Потенциальное рассеяние одинаковых частиц

Рассмотрим теперь потенциальное рассеяние двух одинаковых частиц с массой М, так что их приведенная масса равна Тогда амплитуда представляет собой когерентную суперпозицию амплитуд рассеяния частицы 1 как на угол 9, так и на угол (см. рис. 3.20), так как эти два случая неразличимы

Знак или зависит от того, является ли двухчастичное состояние пространственно симметричным или антисимметричным.

Рис. 3.20. Вклады в

Давайте рассмотрим еще раз дисперсионное соотношение для рассеяния вперед для Мы напомним исходя из (3.95), что у амплитуды, описывающей обычное потенциальное рассеяние, нет особенностей при . Эффект одинаковости частиц заключается в том, что вклад дают также особенности амплитуды рассеяния назад Это слагаемое с рассеянием назад имеет борновскую амплитуду, даваемую фурье-образом потенциала

при соответствующем переданнном импульсе так что

Таким образом, эта борновская амплитуда имеет характерное поведение как функция импульса в системе центра масс или, что то же самое, как функция Насколько можно найти процедуру получения этого члена из известных физических амплитуд, настолько можно получить и детальную информацию о фурье-образе потенциала по соотношению (3.98).

3.11.3. Амплитуда однопионного обмена

Проиллюстрируем идеи предыдущего раздела, исследуя структуру центральной юкавской части амплитуды ОПО. Сначала оценим соответствующий прямой и перекрестный борновские члены (рис. 3.21).

Рис. 3.21. Прямое и перекрестное слагаемые взаимодействия ОПО

1. Прямое борновское слагаемое. Прямое борновское слагаемое Т-матрицы выражается через потенциал ОПО в импульсном пространстве

Для юкавской части этой амплитуды имеем из (3.22)

Мы опустили слагаемые с -функцией по причинам, указанным в разделе 3.3.5.

2. Перекрестное борновское слагаемое. Обменное слагаемое получается заменой ролей нуклонов 1 и 2 в конечном состоянии, т. е. заменой на - так что соответствующий переданный импульс равен Это равенство эквивалентно применению оператора пространственной перестановки который заменяет на , следовательно, меняет на - Дополнительная перегруппировка спинов и изоспинов включает действие соответствующих операторов перестановки так чтобы был выполнен обобщенный принцип Паули с как и в (3.97). Поэтому операция перестановки заменяет спин-изоспиновый оператор в (3.100) на оператор - (см. также Приложение 11). Результат для амплитуды после перестановки:

3.11.4. Дисперсионные соотношения для рассеяния вперед с ОПО

Аналитическая структура нуклон-нуклонной амплитуды, только что полученная схематически, фактически носит общий характер. Мы сейчас покажем, как она появляется на практике, в

приложении к синглетному -каналу с Борновская амплитуда ОПО в этом случае равна

Для расеяния вперед имеем . И окончательно, с учетом борновского слагаемого из (3.102) дисперсионное соотношение для амлитуды рассеяния вперед принимает вид

Это и есть обобщение уравнения (3.95).

В отличие от структуры, приведенной в (3.95), это соотношение имеет два дополнительных слагаемых. Первое — борновская амплитуда с полюсом при пришедшая из обменного слагаемого. Положение полюса сооответствует лабораторной энергии МэВ. Во-вторых, итерация борновского члена ОПО (3.102) во всех порядках ведет к непрерывной суперпозиции потенциалов юкавского типа со спектром масс, начинающимся от так как они могут рассматриваться как многопионные обмены, включающие, по крайней мере, два пиона. Как следствие — пионный полюс при дополнен континуумом сингулярностей (разрезом), простирающимся от до

Дисперсионное сооотношение (3.103) еще не полно, поскольку интегралы недостаточно хорошо сходятся. Поэтому сделаем вычитание при как это описано в (П12.5) и (П12.6), что и даст дисперсионное соотношение для рассеяния вперед:

Дисперсионные соотношения в таком виде характерны для всех каналов -рассеяния. Они обеспечивают сильные и строгие связи между амплитудами физического -рассеяния при различных энергиях (т.е. при различных При и реальная, и мнимая части могут быть определены экспериментально.

3.11.5. Функция расхождения

Определение. Вклады в амплитуду рассеяния от перекрестного канала, идущие от могут быть точно выделены с использованием экспериментальных данных по следующей процедуре. Имея дисперсионное соотношение с вычитанием и с точкой вычитания определим функцию посредством

где амплитуда может быть измерена при Следовательно, величины, стоящие в правой части равенства, могут быть определены экспериментально. Реальную часть можно найти из фазового анализа или кулоновской интерференции, в то время как в физической области с помощью оптической теоремы выражается через полное сечение (см. Приложение

Функция называется функцией расхождения, потому что она измеряет меру, в которой информации только из физической области не хватает для удовлетворения дисперсионного соотношения. В частности, эта функция содержит информацию о фурье-образе потенциала в обменном канале. Следовательно, она может быть использована для выявления обменных механизмов в нуклон-нуклонном взаимодействии (Bugg, 1968; Grein and Kroll, 1980). Формально нефизическая область с может рассматриваться как отражение физики нуклон-антинуклонного канала, в основном в кинематической области глубоко ниже физического порога

В частности, величина содержит информацию о каналах среди которых в разделе 3.10 уже обсуждались вклады от

Синглетная и триплетная функции расхождения. Квантовые числа, связанные с — это квантовые числа соответствующего канала Полезно классифицировать функции расхождения по спину изоспину I и четности Р пары так как эта процедура включает в себя правила отбора для возможных состояний Соответствующие квантовые числа показаны в табл. 3.6. Эти комбинации можно сконструировать из спин-изоспиновых амплитуд в канале по утомительной, но несложной процедуре

Таблица 3.6. Спиновые состояния системы связанные с функциями расхождения для рассеяния вперед

с использованием кроссинг-симметрии. Соответствующие соотношения приведены в Приложении 11.

Правила отбора. Спины и четности обменов, связанных с синглетной и триплетной функциями расхождения, ограничены правилами отбора. Полный угловой момент и четность определяются из связи орбитального углового момента пары со спином . Поэтому четность состояния равна

Для состояний, дающих вклад в синглетную функцию расхождения имеем Следовательно, возможные состояния имеют квантовые числа ненатуральной четности На триплетные функции накладывается меньше ограничений. В них дают вклады состояния с возможными значениями полного углового момента Так как продольная функция отвечает то в этом случае появляются слагаемые лишь с Естественно анализировать функции расхождения на языке обмена и т.д. или, более точно, на языке объектов, которые в асимптотике распадаются на (рис. 3.22). В дополнение к прямым правилам отбора, указанным выше, сейчас мы обсудим некоторые дальнейшие ограничения.

Рассмотрим сначала обмен двумя пионами. Из симметрии волновых функций бозонов следует, что возможные состояния имеют четность Четность системы равна Это означает, что вклады полностью подавлены в синглетной функции расхождения А, так как для нее Для триплетных функций расхождения состояния которые могут давать вклад, ограничены состояниями с положительной четностью для и состояниями с отрицательной четностью для

Рис. 3.22. Квантовые числа для от

Дополнительные ограничения на систему с произвольным числом пионов следуют из инвариантности сильного взаимодействия не странных адронов относительно преобразования G-четности [8]: . Здесь С — оператор зарядового сопряжения, -компонента изоспина. Система пионов имеет G-четность . Система в состоянии имеет G-четность , где I — изоспин. Поэтому сохранение -четности приводит к правилу отбора:

Положения особенностей. Особеннности, связанные с обменом начинаются в точке Особенность — это полюс для однопионного обмена, и разрез — для многопионного. Особенности амплитуды -рассеяния вперед начинаются при энергии в лабораторной системе МэВ. Положение осо-беннностей и массы соответствующих обмениваемых систем приведены в табл. 3.7.

Таблица 3.7. Положение полюсов и разрезов в -рассеянии вперед (см. скан)

Знак вкладов в функцию расхождения. Пока масса обмениваемого объекта меньше, чем удвоенная масса нуклона, существует прямая связь между четностью обмениваемой системы и знаком ее вкладов в функцию расхождения (см. уравнение (П12.18) и далее). Обмен с отрицательной четностью дает отрицательный вклад в А, а обмен с положительной четностью дает положительный вклад. Поэтому можно с первого же взгляда определить доминирующий обмен, что (как это будет детально обсуждено ниже) подтверждается в приложениях (см. ниже рис. 3.24-3.27).

3.11.6. Пример: определение константы связи

Полезность функции расхождения как метода для выделения вкладов от обменного канала хорошо иллюстрируется прямым определением константы связи Рассмотрим случай рр-рассеяния вперед. Кулоновские поправки быть устранены с

большой точностью. В этом случае ОПО представляет собой чистый обмен нейтральным пионом.

Наиболее эффективный путь для выделения пионного пэлюса заключается в рассмотрении синглетной функции расхождения Как мы видели в предыдущем разделе, эта функция отбирает -квантовые числа т.е. числа с ненатуральной четностью. В силу правила отбора по -четности вклады двухпионного обмена, скалярные и векторные -обмены, столь важные в других случаях, полностью пропадают в этом канале.

Полюс, отвечающий расположен при , т.е. при лабораторной кинетической энергии Глав МэВ, которая очень близка к физической области Глав Другие особенности, связанные с обменом тремя или большим числом пионов, дают разрез при Глав МэВ (см. табл. 3.7 и рис. 3.23).

Рис. 3.23. Положевие однопионного полюса и многопионных разрезов для амплитуды -рассеяния вперед

Функция расхождения по определению зануляется при энергии и обращается в бесконечность в полюсе при МэВ, а поэтому ее изменение в этой области предельно быстрое. Чтобы изменение не было столь быстрым, определим редуцированную функцию расхождения

Эта величина плавно экстраполируется к константе в пионном полюсе. Экстраполяция из физической области Глав показана на рис. 3.24. Как следует из ранних обсуждений в этой главе важности ОПО в -взаимодействиях при низкой энергии, экстраполяция в полюс уже достаточно хорошо определена даже информацией из ограниченной области энергий ниже 30 МэВ. Данные при более высоких энергиях служат, в основном, для прецизионной экстраполяции с высокой точностью. Вычет в пионном борновском полюсе задается через Дорр Результирующая величина для константы связи (Kroll, 1981)

Рис. 3.24. Определение константы связи из полюсной экстрполяции экспериментальной редуцированной функции расхождния в полюс и частное сообщение)

очень хорошо согласуется с величиной -константы связи для заряженных пионов, определеннной независимо из данных по -рассеянию,

Очень высокая точность экстраполяции происходит не только в результате исключения скалярного и векторного каналов в но также из того факта, что пионный полюс находится очень близко к физической области; любая другая особенность лежит по крайней мере в девять раз дальше по энергии.

3.11.7. Экспериментальное наблюдение обменов в NN-силах

В разделе 3.11.5 мы обнаружили, что функции расхождения дают нам метод, выделяющий квантовые числа в обменном процессе. Так как эти функции могут быть сконструированы непосредственно из экспериментальных данных, то они яиляются хорошим инструментом для прямого исследования различных обменов. Мы уже видели, что вклады ОПО могут быть выделены очень точно. Сейчас мы используем функции расхождения для демонстрации эффектов от других квантовых чисел.

Упростим рассмотрение, ограничивая его обменами, переносящими квантовые числа самое большее трех пионов. Мы также напомним (раздел 3.10), что -обмен на промежуточных и дальних расстояниях теоретически хорошо объясним, что дает шкалу сравнения при обсуждении дополнительных слагаемых. В дальнейшем будем считать, что обмен включает только наинизшие спиновые состояния, допустимые в данном канале, как ожидается для

Рис. 3.25 Завсимость синглетной функции расхождения от энергии: (а) обмен с изоспином 1 при убранном ОПО; (б) обмен с изоспином 0. Сплошные кривые — теоретический анализ (Greln and Kroll, 1980)

низкоэнергетического разложения. Функции расхождения, извлеченные из эксперимента, приведены на рис. 3.25-3.27.

Чтобы проиллюстрировать, как дисперсионная теория работает на практике, рассмотрим упрощенный случай одиночного эффективного бозона с массой в данном канале. В этом случае мнимая часть в уравнении (3.105) для пропорциональна Так как то функция расхождения имеет вид

стоящая впереди константа пропорциональна силе эффективной связи бозон—нуклон, знак определяется четностью обмениваемого объекта. Кривизна функции расхождения около начала координат является характеристикой обмениваемой массы. Детальный анализ был проведен Грейном и Кроллом (Grein and Kroll, 1980); здесь же мы ограничимся лишь результатами с краткой сводкой их в табл. 3.8.

Рис. 3.26. Зависимость триплетной функции расхождения от энергии: (а) обмен с изоспином 1; (б) обмен с изоспином 0. Сплошные и штриховые кривые — теоретический анализ (Grein and KroU, 1980)

Синглетная функция расхождения (см. рис. 3.25). В этом случае -вклады подавлены полностью. Вклад могут давать только состояния с ненатуральной четностью и т.д.

1. Обмен с изоспином Доминирующий вклад идет от ОПО. Для ясности он был вычтен на рис. 3.25, а. Отрицательные вклады в характерны для состояний с отрицательной четностью Это единственно возможные здесь -состояния. Состояния с положительной четностью требуют четного числа пионов, так что они связаны, по крайней мере, с квантовыми числами -обмена. Но такие вклады не наблюдаются. Кривизна функции расхождения соответствует эффективной массе примерно 600 МэВ.

Следовательно, синглетная функция расхождения для изоспина 1 дает однозначное доказательство обмена при достаточно малых массах. В этом канале нет никакого известного резонанса, и наблюдения совместимы с итерированным мезонным обменом, таким как

Рис. 3.27. Зависимость триплетной функции расхождения от энергии: (а) обмен с изоспином обмен с изоспином 0. Сплошные и штриховые кривые — теоретический анализ (Grein and Kroll, 1980). Стрелка показывает оценку теоретической неопределенности в -вкладах в

2. Обмен с изоспином Вклады в этот канал также обусловлены, по крайней мере, -обменами с квантовыми числами Знак характерен для обмена с положительной четностью. В частности, нет никаких указаний на обмен псевдоскалярным -мезоном, который давал бы отрицательный вклад из-за своей отрицательной внутренней четности, что согласуется со слабой связью -мезона с нуклоном. Величины наблюденных вкладов совместимы с итерированным мезонным обменом.

Синглетный канал с изоспином 0 — слабейший из всех каналов. Только он допускал бы проявление изоскалярного аксиального векторного обмена. Но в экспериментальных данных не существует указания на какое бы то ни было усиление аксиального векторного вклада.

Триплетная функция расхождения (см. рис. 3.26). В этих каналах псевдоскалярный и аксиальный векторный обмены подавлены.

1. Обмен с изоспином Эта функция расхождения имеет большие вклады отрицательного знака, характерные для состояний с отрицательной четностью. Это соответствует состояниям происходящим от -обмена. Вклад определяется -волновым -каналом -обмен). Поэтому этот канал дает ясное и количественное указание на -обмен в -канале с почти правильной массой. В ведущем порядке в нем проверяется векторная константа связи -мезона g. -обмены должны иметь положительную четность и входить с положительным знаком., Имеется мало указаний на такие слагаемые. Это можно ожидать, так как -состоянне с наинизшим спином (0 подавлено по -четности.

2. Обмен с изоспином Это сильный канал с положительной что характерно для состояний с положительной четностью отвечающих -обмену в "-канале. Однако фактическая оценка вкладов -обмена показывает, что теоретическое -слагаемое гораздо сильнее, чем эмпирически наблюдаемое. Вклады имеют отрицательную четность и поэтому правильный отрицательный знак для объяснения этого расхождения. Возможные квантовые числа в этом -канале принимают значения Так как итерированные -вклады, как ожидается, малы, то сильный отрицательный вклад в является проявлением -векторного обмена с Это — квантовые числа -мезона. В потенциальном описании обмена этот канал дает доказательство сильного центрального потенциала, вызванного большой векторной связью

Триплетная функция расхождения (см. рис. 3.27). В этих каналах запрещены скалярные и псевдоскалярные обмены.

1. Обмен с изоспином Отрицательный знак этого слагаемого является характерным для состояний с отрицательной четностью в -обмене. Очень важная часть этого большого слагаемого вызвана обменом с в -волне -канала -канал). Именно это слагаемое обеспечивает прямое наблюдение тензорной связи Однако наблюдаемый -вклад существенно слабее, чем теоретическое предсказание. Слагаемое -обмена имеет правильный положительный знак, как раз объясняющий этот эффект. Ожидается, что доминирующий вклад имеет аксиальный векторный тип Итерации ОПО могут объяснить, по крайней мере, около половины наблюдаемого расхождения. Возможно, что этот канал также дает некое обоснование для дополнительного аксиального обмена (канал -мезона).

2. Обмен с изоспином Этот относительно неважный канал дает отрицательные вклады, характерные для -обменов с

отрицательной четностью, которые, как ожидается, приходят примерно в одинаковой мере от -мезона и -волнового континуума. Кроме того, теоретический -вклад в высших парциальных волнах входит со знаком, противоположным знаку -слагаемых.

3.11.8. Сводка результатов о функции расхождения

Общая картина, даваемая функциями расхождения, очень хорошая. В целом, различные главные обменные механизмы могут быть выделены вполне четко. Представляются важными не только эффекты -обмена, но также и эффекты -обмена. Триплетные амплитуды имеют большие компоненты векторного мезонного обмена. Мы приводим основные результаты в табл. 3.8. С точки зрения моделей однобозонного обмена, которые используют потенциальное описание (см. раздел 3.9), мы находим здесь ясное прямое указание на все основные бозоны этих моделей со с качественно правильными массами и константами связи.

Таблица 3.8. (см. скан) Основные вклады в функции расхождения, классифицируемые по минимальному возможному спину обмениваемой системы