14. СИГМА-МОДЕЛЬ

(см. Lee, 1972)

(а) Общие свойства

-модель — это феноменологическая теоретико-полевая модель, основанная на киральной -симметрии. Она

соответствует симметриям квантовой хромодинамики в пределе безмассовых -кварков (см. раздел 9.3). В эту модель входят:

1) изодублет фермионных полей

2) изоскаляр-скалярное поле

3) изовектор-псевдоскалярное поле с изоспиновыми компонентами .

Так как алгебра Ли группы изоморфна алгебре группы полезно построить четырехкомпонентные величины:

Рассмотрим инфинитезимальное преобразование фермионных и бозонных полей

где — произвольный инфинитезимальный угол в изоспиновом пространстве. Это преобразование определяет вращение В и (так называемое киральное вращение) с инвариантными скалярными произведениями:

Дополнительными инвариантами являются кинетические члены

-модель определяется Лагранжианом

Она представляет собой прототип перенормируемой нелинейной теории поля, основанной на киральной симметрии.

(б) Токи и их алгебра

-модель имеет сохраняющийся векторный ток

с В силу основополагающей киральной симметрии она имеет дополнительный сохраняющийся аксиальный ток

Векторный и аксиальный заряды равны

С использованием обычных коммутационных соотношений для полей найдено, что токи и заряды подчиняются следующим коммутационным соотношениям (алгебра токов):

Интегрирование по x дает

Лагранжиан (П14.5) может быть переписан в виде

с

(с точностью до несущественной константы).

(в) Реализации киральной симметрии

В -модели существуют следующие реализации киральной симметрии для классических полей представленных их средними величинами

Мода Вигнера—Вейля. Здесь так что имеет абсолютный минимум при (рис. П 14.1, а). В этом случае квантовая теория, построенная вокруг этой точки, приводит к

Рис. П14.1. Иллюстрация потенциала V в -модели

ситуации, в которой фермионы остаются безмассовыми, а бозоны стил вырождены и имеют массу .

Мода Намбу—Голдстоуна. Здесь так имеет минимумы на гиперсфере (см. рис. П14.1, б)

Фермионы приобретают ненулевую массу

Это спонтанное нарушение киральной симметрии связано с появлением безмассового поля (голдстоуновский бозон).

(г) Нелинейная «сигма»-модель

(Weinberg, 1968)

Нелинейный эффективный лагранжиан

Рассмотрим киральную симметрию в реализации моды Намбу—Голдстоуна. Более того, предположим, что потенциал ограничивает поля областью вблизи классического минимума и поэтому выполнено условие (П14.13).

Определим поле посредством соотношений

где Рассмотрим унитарное преобразование

с Фермионные поля преобразуются согласно формулам

Кинетический член выражается черз поле следующим образом:

с

Лагранжиан т.е. при соблюдении записывается через преобразованные поля как

Используя

и

получаем

В пределе слабого поля . В первом порядке по находим

где масса фермиона была введена, как в (П14.14). Поле должно быть отождествлено с безмассовым голдстоуновским пионом, в этом случае становится константой распада пиона: МэВ.

Отметим, что в этом порядке преобразованный лагранжиан (П14.26) имеет два типа связей с фермионами с характерными силами связей, определяемыми псевдовекторное (а не псевдоскалярное)

пион-фермионное взаимодействие и -связь с ферми-онным изовекторным током, в котором -система, описываемая слагаемым имеет квантовые числа -мезона.

Токи

Векторный и аксиальный токи, полученные из нелинейного эффективного лагранжиана в главном порядке по имеют вид

Список литературы

(см. скан)