2.2. Свободное пионное поле

Наличие трех зарядовых состояний пиона отражено в изовекторной структуре пионного поля Здесь обозначает пространственно-временной 4-вектор. Поля выражаются через декартовы изоспиновые компоненты

(см. Приложение 3(б)).

Поле свободных пионов удовлетворяет уравнению Клейна— Гордона

Решением этого уравнения является суперпозициия плоских волн . На языке вторичного квантования отвечает рождению или аннигиляции (см. Приложение 4(a)).

Рассмотрим теперь функцию Грина свободного пиона, которая является решением волнового уравнения с точечным источником, расположенным в точке и описывает распространение свободной волны, рожденной в момент времени

Функция Грина может быть выражена как

где фурье-образ равен

Подробно свойства функции Грина изложены в Приложении 5. Функция имеет полюсы, расположенные при

что представляет собой связь энергии и импульса для свободных ( — на массовой поверхности) пионов. Соглашение заключается в том, что полюс с положительной частотой отождествляется с а полюс с отрицательной частотой — с соответствующей античастицей. Для нейтральных пионов такого разделения нет, так как совпадает со своей античастицей. Наличие величины в знаменателе равенства (2.5) гарантирует, что состояние с положительной частотой (частица) распространяется во времени вперед

Пион, который не удовлетворяет уравнению называется виртуальным — вне массовой поверхности). Важным частным случаем является статическое пионное поле, для которого до - о) - 0 и не зависит от времени. В области, где нет источников, это поле удовлетворяет уравнению

Статический точечный источник приводит к расходящейся затухающей волне с уравнением

Решением этого уравнения является статическая функция Грина

фурье-образ которой равен

Выражение (2.9) очень важно для обсуждения статического взаимодействия однопионного обмена. Согласно этой формуле, статическое пионное поле вне источника простирается только на характерное расстояние, равное комптоновской длине волны пиона . В более общем случае это расстояние зависит от частоты , как показано в Приложении 5(a). Для фиксированной частоты и источника, расположенного в начале координат, мы получаем решение юкавского типа, пропорциональное Следовательно, радиус поля увеличивается с приближением со к массе пиона. Для решение становится расходящейся сферической волной