2.5. Феноменологическая модель р-волнового «пиN»-рассеяния

В ядерных приложениях полезно работать с эффективными взаимодействиями, воспроизводящими основные динамические особенности и р-волнового пион-ядерного рассеяния. Такие взаимодействия также могут быть использованы и при описании взаимодействий пионов со связанными нуклонами. Мы изложим отдельно модели для и р-волновых взаимодействий.

Для -волн можно получить эффективное описание, если рассматривать (-изобару) как независимый вид бариона. Это есть основное предположение изобарной модели. Исходной позицией является представление о том, что главные затравочные члены -взаимодействия представляют собою сумму прямого и перекрестного нуклонного и Д-полюсных вкладов (как это показано на рис. 2.5). Поэтому -матрица аппроксимируется этими полюсными слагаемыми и затем подставляется в -матрицу так, чтобы была соблюдена унитарность.

Рис. 2.5. Иллюстрация прямого и перекрестного нуклонного и -полюсных членов

Такая модель дает успешную феноменологическую основу для целого ряда пион-ядерных мало- и многочастичных задач [7].

2.5.1. р-волновые борцовские члены для статических нуклонов

Описание -расееяния должно корректно включать вклады процессов второго порядка, вызванных испусканием и поглощением пиона нуклоном (рис. 2.6). Их называют прямым и перекрестным борновскими членами.

Матричный элемент для гамильтониана статического взаимодействия связывающего вакуумное и однопионное состояния дается выражением

где — декартовы компоненты изоспина

Матрица перехода Т (см. Приложение 8) для прямого процесса получается с использованием теории возмущений во втором

Рис. 2.6. Иллюстрация прямого и перекрестного нуклонных борновских членов

порядке по Энергетический знаменатель имеет вид где — энергия промежуточного нуклона. В статическом приближении эффектами отдачи нуклона пренебрегают, при этом исчезает в сравнении с и энергетический знаменатель имеет поэтому простой вид, Обозначая вклад прямого процесса как и вклад перекрестного процесса как мы имеем

Перекрестное слагаемое записывается аналогично. Здесь, однако, в промежуточном состоянии существует два пиона, и в статическом пределе энергетический знаменатель равен Следовательно, перекрестный матричный элемент имеет вид

В статическом пределе связь между амплитудой рассеяния и Г-матрицей — простая, и мы имеем:

Как легко видеть из (2.44), эта амплитуда обладает свойством кроссинг-инвариантности: перекрестное слагаемое получается из прямого заменой индексов а и с одновременной заменой входного и выходного -импульсов пиона:

Мы сейчас перепишем эти результаты несколькими способами, чтобы получить более удобную связь с экспериментальными амплитудами. Рассмотрим сначала амплитуду, отвечающую борновскому приближению, как оператор по изоспину

Используя тождество и технику изоспиновых проекционных операторов (Приложение 3(д)), получим для :

Эту амплитуду можно прямо сравнить с разложением (2.38) и определить борновские коэффициенты:

В табл. 2.2 дано сравнение этих коэффициентов с экспериментальными величинами на пороге при Очевидно, что одних нуклонных борновских слагаемых совершенно недостаточно, чтобы описать параметр со, который очень важен в ядерных приложениях, так же как и параметр в то время как параметры вполне успешно воспроизводятся. Существуют дополнительные значительные вклады, потерянные на этом этапе. Как мы покажем в следующем разделе, они вызваны, прежде всего, -изобарой.

Таблица 2.2. Коэффициенты р-волновой амплитуды на пороге, вычисленной в борновском приближении и определенной из эксперимента (в единицах ) (см. скан)

Интересно также выделить борновскую амплитуду для различных спин-изоспиновых каналов Это можно сделать прямым сравнением с коэффициентами в разложении по парциальным волнам (2.30). Нетрудно отделить вклады от прямого (2.42) и перекрестного (2.43) слагаемых. Тогда борновская амплитуда может быть записана как

где — проекционный оператор канала а (Приложение Коэффициенты равны

Записывая амплитуду (2.43), мы не предполагали, что пионы находятся на массовой поверхности. При амплитуды для парциальных волн принимают вид

где

Поэтому борновские объемы становятся равными

В табл. 2.3 дано сравнение приведенных значений (2.52) с экспериментальными (2.37). В объемах рассеяния расхождения с предсказаниями борновского приближения представляются менее драматичными, чем в комбинациях, приведенных в табл. 2.2. Однако борновские слагаемые дают лишь половину требуемого притяжения в канале Более того, они переоценивают отталкивание в канале (нуклон) примерно в два раза.

Таблица 2.3. Объемы рассеяния, вычисленные в борновском приближении и определенные из эксперимента (в единицах )