3.10. Взаимодействие посредством двухпионного обмена

3.10.1. Введение

Как мы обнаружили в предыдущем разделе, полуфеноменологический скалярный и векторный бозонные обмены в дополнение к взаимодействию ОПО обеспечивают успешное описание -сил не только на больших, но также и на промежуточных расстояниях. Цель настоящего раздела заключается в достижении более детального динамического понимания этой феноменологии на языке систем взаимодействующих пионов [5]. В особенности нас будет интересовать динамическое происхождение и -мезонов. Эти бозоны могут рассматриваться как "кластеры" пионов с заданными квантовыми числами, что предполагает систематическое разложение и -амплитуды, и потенциала по числу пионов, участвующих в обмене (рис. 3.11). Тогда амплитуду М и потенциал V символически можно записать в виде:

Рис. 3.11. Разложение -взаимолействия по многопионным обменам

Наибольший интерес представляет двухпионный обмен по следующим причинам. Обмен пионами с малой относительной кинетической энергией в этом канале дает самые дальнодействующие силы, не считая ОПО. Кроме того, рис. 3.11 наводит на мысль, что динамика двухпионного обмена сильно связана с -рассеянием. Это обстоятельство мы обсудим ниже. Фактически важное свойство двухпионного обмена заключается именно в том, что роль динамики -рассеяния в процессе -обмена может быть количественно оценена с большой строгостью и точностью.

И, наконец, двухпионный обмен имеет строго определенные квантовые числа. Рассмотрим два пиона в относительных и -состояниях, характерных для -обмена с небольшой относительной кинетической энергией. Симметрия волновой функции системы ограничивает возможные квантовые числа или . Так как максимальный изоспин, который может передаваться в -взаимодействии, равен могут существовать лишь следующие два типа процессов двухпионного обмена:

1. Скаляр-изоскалярный обмен т.е. обмен, отвечающий квантовым числам "а" в картине обмена бозоном.

2. Вектор-изовекторный обмен т.е. обмен с квантовыми числами -мезона.

Обнаружено, что в модели обмена бозонами оба эти канала дают важные вклады в -взаимодействие на средних расстояниях.

3.10.2. Конструирование потенциала обмена двуми пионами

Рассмотрим амплитуду обмена двумя пионами более детально для процесса -рассеяния, показанного на рис. 3.12. Удобными кинематическими переменными являются квадрат энергии в с.ц.м.

и квадрат переданного 4-импульса

где - 4-импульс нуклона.

Рис. 3.12. Переменные и каналы в -рассеянии

Канал -рассеяния называется -каналом. Для дальнейших целей посмотрим на диагамму -рассеяния сбоку. Это -канал — канал нуклон-антинуклон Суть одновременного рассмотрения и -рассеяния заключается в том, что они связаны друг с другом просто сменой ролей и в амплитуде, соответствующей этой диаграмме. Или, иными словами, оба процесса описываются одинаковой основной амплитудой рассеяния. Именно эта тесная связь между и -амплитудами будет в дальнейшем использоваться нами для построения амплитуды -обмена.

В -канале переменная отвечает квадрату энергии в с.ц.м. . Амплитуда в этом канале, в частности, описывает аннигиляцию -пары в любое количество пионов, как это видно из рис. 3.13. Сейчас мы сконцентрируем свое внимание на процессах, которые имеют два промежуточных пиона. Чтобы проиллюстрировать основные идеи, сначала напомним структуру амплитуды усложнения, связанные с наличием спина, для простоты учитывать не будем.

Вклад ОПО в -амплитуду дается одиночным -канальным полюсом, расположенным при

Рис. 3.13. Иллюстрация вклада в -амплитуду с двумя промежуточными пионами

Статическое взаимодействие ОПО получается для значений где трехмерный переданный импульс. Фурье-образ этой амплитуды равен

(стандартный потенциал Юкавы). Если на ту же диаграмму, соответствующую амплитуде посмотреть со стороны -канала, то она будет описывать процесс где уже теперь будет играть роль энергии в с.ц.м. .

Амплитуда двухпионного обмена получается как прямое обобщение юкавской картины. В этом случае пара участвующая в обмене, благодаря своей относительной кинетической энергии дает непрерывный спектр масс

Минимальная масса которая может участвовать в обмене, равна Следовательно, интегрирование в Г-канале начинается с Динамика обмениваемой пары содержится здесь в двухпионном распределении масс Как только мы определим эту функцию, легко можно получить потенциал, отвечающий Часть этого распределения массы дается просто итерированием потенциала ОПО в уравнении Шредингера, поэтому эту часть нужно вычесть из распределения масс

Рассмотрим рассеяние двух нуклонов при низкой энергии, где . В статическом пределе, т.е. при фурье-образ дает потенциал -обмена

представляющий собой непрерывную суперпозицию юкавских потенциалов с массами простирающимися от двухпионного порога до бесконечности.

Если -пара образует относительно узкий резонанс при массе то соответствующее распределение массы может быть аппроксимировано формулой

В этом случае потенциал сводится к одиночному юкавскому слагаемому: Поэтому обмениваемая -пара может интерпретироваться как одиночный бозон массы с эффективной константой связи бозон—нуклон

Необходимо отметить, что амплитуда из уравнения (3.81), рассмотренная в Г-канале, представляет процесс Это наблюдение важно, так как оно позволяет связать распределение масс прямо с процессом

3.10.3. Распределение масс «пи»«пи»

Следующие шаги в получении яя-распределения масс связаны с техническим усложнением за счет спиновых степеней свободы. Однако важную физику можно понять и в случае, когда спином пренебрегают. Возвращаясь к рис. 3.13, видим, что должно быть пропорционально произведению амплитуд процессов . Каждый канал характеризуется полным угловым моментом -пары Обозначим амплитуду для первого процесса как Очевидно, что амплитуда второго процесса есть просто комплексно сопряженная величина, Тогда из разложения по парциальным волнам [6] в канале для получаем:

Переменная играет роль квадрата переданного -импульса в канале . В с.ц.м. угол определяется через этот переданный импульс как Множитель имеет чисто кинематическое происхождение.

Здесь важно отметить, что амплитуды процесса - связаны с амплитудами рассеяния кроссинг-симметрией: физика, заключенная в основном определяется пион-нуклонной динамикой. Поэтому конкретные вычисления выполняются с использованием методов дисперсионных соотношений. Мы сейчас перейдем к обсуждению результатов в каналах, которые наиболее значимы для низкоэнергетического -взаимодействия.

3.10.4. Скаляр-изоскалярный обмен

Сначала мы рассмотрим обмен двумя пионами в состоянии со спином и изоспином Из обсуждения феноменологических моделей однобозонного обмена в разделе 3.9 известно, что основной частью потенциала в этом канале является центральный притягивающий потенциал Юкавы. Мы хотим сконцентрировать наше внимание на этом слагаемом и вывести его из -обменного взаимодействия. Распределение массы в канале взятое при обозначено Соответствующий статический потенциал имеет вид (3.82)

Соответствующая амплитуда обычно обозначается как и называется спиральной амплитудой в этом канале. Прежде чем выписать результат для необходимо вспомнить, что содержит борновские члены от ОПО во втором порядке, которые мы обозначим . Их надо убрать из как это уже было сделано в соотношении (3.82), потому что они уже включены в двухчастичное уравнение Шредингера, которое дает итерации по потенциалу ОПО.

Вывод скалярно-изоскалярного распределения массы, включая все кинематические множители и сохраняя доминирующие слагаемые, дает:

В статическом пределе (т.е. для большой массы нуклона М) это абсолютно правильный результат. Поправки порядка были опущены.

Множитель

в (3.86) представляет собой пороговое поведение для -волны. Для волны произвольного спина этот множитель равен так как в дополнение к фазовому объему, центробежный барьер при малых приводит к появлению коэффициента прохождения, пропорционального Именно это поведение делает предпочтительным -обмен с малым угловым моментом и 1 в области малых масс.

Фактическое вычисление изоскалярной -волновой - амплитуды производится в рамках дисперсионных соотношений. Его основными составляющими являются (см. рис. 3.14):

1) -волновая -амплитуда,

2) -амплитуды рассеяния.

Рис. 3.14. Дисперсные вклады в амплитуду от лл-взаимодействия

Рис. 3.15. Распределение масс системы в потенциале -обмена для случая

Связью с четырехпионными промежуточными состояниями обычно пренебрегают -состояния не связчны с -каналом, так как -четность запрещает смешивание состояний с нечетным и четным числом пионов; см. раздел 3.11.5).

Типичный для результат приведен на рис. 3.15. Широкое распределение показывает, что не существует резонанса с который можно было бы отождествить с определенным скаляр-изоскалярным мезоном. В потенциалах однобозонного обмена, тем не менее, потенциал вполне успешно аппроксимирован одиночным потенциалом Юкавы с массой выбраннной в интервале между 500 и 600 МэВ. Эта масса примерно соответствует широкому максимуму в

3.10.5. Вектор-изовекторный обмен

В канале взаимодействующая пара образует резонанс — -мезон. Этот резонанс очень ярко проявляется в соответствующей амплитуде . Обозначим спиральную амплитуду в этом канале как Она получается по процедуре, аналогичной применявшейся при вычислениях Основными составляющими, которые определяют эту величину, являются:

1. р-волновая амплитуда -рассеяния,

2. Амплитуда -рассеяния.

Мы проиллюстрируем спектр масс исследуя его роль в доминирующей части изовекторного, -обменного потенциала, зависящего от спина, опуская для удобства -слагаемое. В статическом пределе этот потенциал по аналогии с (3.72) принимает вид

где

Распределение массы взаимодействующей пары в канале связано с соотношением

где мы опустили слагаемые высших порядков по Борновское слагаемое, пропорциональное отвечает итерированному ОПО в этом канале и должно быть вычтено. Пороговое поведение, даваемое множителем характерно для двух пионов в относительной р-волне.

Распределение массы показано на рис. 3.16, на котором четко виден -резонанс как ярко выраженный пик при массе . Однако рис. 3.16 также показывает, что в спектре присутствует значительный нерезонансный вклад в области меньших масс.

Связь с -обменом в модели однобозонного обмена возникает, когда распределение массы аппроксимируется одиночной -функцией при

что определяет эффективную константу связи -мезона с нуклоном:

Рис. 3.16. Распределение масс системы в потенциале -обмена для случая

Эта величина связана с векторной и тензорной константами связи в (3.72) равенством На самом деле, дисперсионный теоретический подход для вычисления обеспечивает надежный способ для получения этой константы связи. Получаем

что отвечает эмпирическим константам связи приведенным в табл. 3.5.

3.10.6. Роль А(1232) в двухпионном обменном взаимодействии

Построение -обменного потенциала широко использует амплитуды -рассеяния. Поскольку р-волновая -амплитуда определяется то естественно ожидать, что существенная часть -обменной -амплитуды происходит от промежуточных состояний с одной или двумя Д-изобарами, как это показано на рис. 3.17 (Durso et al, 1977).

Эти вклады в могут быть вычислены по-другому, путем явного использования потенциалов ОПО перехода (см. раздел 3.3.6). Качественное поведение можно понять, используя потенциалы этих переходов во втором порядке теории возмущений, которая дает

где — потенциалы указанных переходов, — энергии промежуточных и -состояний. Для низкоэнергетического -рассеяния энергия Е системы много меньше Поэтому связь с каналами и дает эффективный притягивающий потенциал Фактическое вычисление процессов, показанных на рис. 3.17, требует введения формфакторов в вершинах переходов Поэтому процедура модельно зависима.

Рис. 3.17. Вклады в -взаимодействие за счет -обмена с промежуточными состояниями

Интересно обсудить, насколько велика та доля притяжения в эффективном потенциале обмена, которая действительно происходит от промежуточных состояний и Точные вычисления приводят к следующим выводам:

1. Введение -обмена с промежуточными и -состояниями, но с некоррелированными пионами, ведет к уменьшению константы бозона в потенциалах однобозонного обмена на фактор, слегка меньший двойки (более точно, остающийся а обмен дает константу связи для массы а МэВ). Этот результат получен с обрезанием в вершине перехода лИД, где выбрано ГэВ.

2. Явное включение -степеней свободы позволяет вычислить долю вероятности в волновой функции дейтрона. Вклад АА-компоненты составляет всего около 0,5% (Weber and Arenhovel, 1978).

Эти вычисления свидетельствуют о том, что большая доля (больше половины) двухпионного обменного взаимодействия должна происходить от других процессов, нежели те, что показаны на рис. 3.17. В частности, -взаимодействия играют важную роль и отвечают за основную часть обмена эффективным а-мезоном, упомянутым выше (Machleidt et aL, 1987).

3.10.7. Парижский потенциал: пример дисперсионного подхода

Дисперсионное теоретическое рассмотрение -обмена включено в рассмотрение некоторых современных -потенциалов, конкретным примером которых является парижский потенциал. Мы кратко обсудим, как этот подход используется на практике [7].

Парижский потенциал включает в себя:

1. Потенциал большого и среднего радиуса.

а) Однопионный обмен с и правильными массами заряженного и нейтрального пионов.

б) Теоретическое двухпионное обменное взаимодействие, полученное с использованием дисперсионного подхода по процедуре, описанной в разделах с 3.10.2 по 3.10.5. В добавление к информации -фазовых сдвигах в явном виде включено -взаимодействие путем использования фазовых сдвигов в состояниях с и 1. Итерационные слагаемые ОПО убраны. Описание не имеет свободных параметров и пригодно примерно до

в) Полуфеноменологическое описание -обмена в терминах -обмена. Вместо -константы связи использована величина . В дополнение учтена малая,

несущественная тензорная связь чтобы иметь характерную величину связи изоскалярного магнитного момента

2. Феноменологическое короткодействующее взаимодействие. Поскольку взаимодействие внутри до сих пор известно плохо, считалось, что оно должно рассматриваться феноменологически. Это осуществлялось в предположении, что каждый характерный потенциал выходит на константу при что вводит минимум 12 феноменологических параметров. Для дальнейшего улучшения включен псевдовекторный мезон с массой около 1300 МэВ и константой связи

Потенциал, сконструированный таким образом, имеет мало свободы в описании высших парциальных волн, для которых плотности взаимодействия сосредоточены за пределами Он дает в этой области важный дополнительный вклад к описанию с помощью потенциала ОПО и может рассматриваться как адекватный теоретический подход для этой области -пространства. Эта теория работает вполне хорошо при описании фазовых сдвигов высших волн. Типичный пример — фазовый сдвиг обсуждавшийся ранее как проявление ОПО, поправки для которого хорошо описываются на расстояниях примерно (см. рис. 3.10, б). Другой характерный пример — триплетное состояние . В таком канале с выстроенным угловым моментом вклад ОПО сильно сокращается, и становятся более заметными вклады от других частей помимо ОПО (рис. 3.18). Разница между результатом ОПО и полным вычислением почти полностью объясняется теоретическим потенциалом двухпионного обмена.

Рис. 3.18. Фазовый сдвиг для ОПО и парижского потенциала [7] как функция энергии и с приближенной -шкалой

Внутренние части парижского потенциала более неопределенны, но в своем феноменологическом виде потенциал дает хорошее описание фазовых сдвигов Имеется параметризация потенциала, удобная для практических применений.

3.10.8. Изовекторный тензорный потенциал

Большое число явлений, обсуждаемых в настоящей книге, тесно связано с проявлением ОПО в -потенциале. Как мы уже нашли выше, в разделе 3.3.3, его наиболее существенным вкладом является изовекторный тензорный потенциал Тензорный потенциал сингулярен в начале координат, как Такое поведение нефизично. Во всех современных описаниях -взаимодейсгвия потенциал ослаблен по отношению к своему значению в ОПО в области промежуточных расстояний из-за вкладов от -обмена с квантовыми числами -мезона. Кроме этого, потенциал регуляризуется при

Типичный пример изовекторного тензорного потенциала — парижский потенциал с его теоретическим вкладом от -обмена при Мы будем использовать этот потенциал, чтобы представить себе поведение полного по сравнению с от чистого ОПО.

Чтобы контролировать расходимость в начале координат, мы представили на рис. 3.19 и для ОПО, и для парижского потенциала. Получившиеся функции имеют весьма характерное поведение. Вклад ОПО стремится к постоянной величине в начале координат и медленно спадает при больших Соответствующий член парижского потенциала имеет максимум около Значение этого потенциала уменьшается примерно до 50% от значения потенциала ОПО при Исходя из формы потенциала можно ожидать, что непрерывная экстраполяция

Рис. 3.19. Изовекторный тензорный потенциал для ОПО и парижского потенциала [7]. Потенциал умножен на чтобы убрать расходимость в начале координат

функции из области до нуля в начале координат не оставляет большой свободы для вариаций. Изовекторное тензорное взаимодействие и, как следствие, многие пионные эффекты в ядрах, таким образом, лишь умеренно зависят от недостаточно хорошо понятых детальных механизмов на малых расстояниях.