5. ПРОПАГАТОРЫ

(а) Пропагаторы Клейна—Гордона

Определение

Фейнмановский пропагатор поля Клейна—Гордона, например пропагатор пионного поля, определен как упорядоченное по времени произведение операторов поля

(Другие обозначения для этой функции: (Bjorken and Drell, 1960) =~G (Itzykson and Zuber, 1980)). действует следующим образом:

где — функция-ступенька по времени:

Уравнение для пропагатора

Пропагатор удовлетворяет уравнению

Представление в импульсном пространстве В импульсном пространстве

где

с

Пространственно-временное представление

Представление в четных и нечетных решениях. Альтернативный способ записи пропагатора имеет вид

Функции А в — это четная и нечетные комбинации:

и

Явные выражения четных и нечетных функций. Явные выражения для имеют вид

Здесь — функции Бесселя целого порядка, При

Отметим, что нечетная функция зануляется вне светового конуса, в то время как четная функция имеет здесь величину, отличную от нуля, но спадает экспоненциально в этой области.

Пропагатор с фиксированной частотой

Связь с Начиная с

будем рассматривать фурье-образ по времени

Отметим, что размерности и отличаются на множитель размерности энергии.

Уравнение для пропагатора. Уравнение для пропагатора при фиксированной частоте со имеет вид

Решение может быть представлено как

Решения юкавского типа. Решение для имеет вид

Решение вида расходящейся волны. Для решение имеет вид расходящейся волны

(б) Дираковские пропагаторы

Уравнение для пропагатора

Пропагатор для свободной дираковской частицы удовлетворяет уравнению

Представление в импульсном пространстве В импульсном пространстве

Пространственно-временное представление

Дираковский пропагатор связан с клейн-гордоновским пропагатором удовлетворяющим уравнению

соотношением

Список литературы

(см. скан)