2.4. Пион-нуклонное рассеяние

2.4.1. Переменные и амплитуды

Рассмотрим процесс пион-нуклонного рассеяния

(рис. 2.1), где в скобках указаны -импульсы входящих и выходящих пиона и нуклона:

Рис. 2.1. Иллюстрация пион-нуклонного рассеяния; здесь ряд — пульсы начальных нуклона и пиона, — конечных

В системе центра масс (с.ц.м.) пиона и нуклона, где полная энергия дается выражением

где

— энергии нуклона и пиона, соответственно. Квадрат переданного импульса равен

в — угол рассеяния.

Выражения для инвариантных мандельстамовских переменных, определенных в Приложении 8(a), в с.ц.м. принимают вид

Амплитуда рассеяния в с.ц.м. (см. Приложение 8(д,е)) определена так, чтобы дифференциальное сечение рассеяния в этой системе определялось как

где сумма берется по состояниям спина нуклона. Амплитуда -рассеяния может быть разложена по парциальным волнам с заданным угловым моментом I и полным моментом

Чтобы выделить каналы пион-нуклонной системы с разными изоспинами, обычно вводят проекционные операторы. Полный изоспин системы равен где — изоспин пиона. Возможные величины полного изоспина равны 1/2, 3/2. Проекционные операторы имеют вид

Как показано в Приложении амплитуда рассеяния разлагается на парциальные волны:

где — полиномы Лежандра, — их производные. В этой формуле индекс у парциальных амплитуд обозначает изоспин I и орбитальный угловой момент I, соответствующий полному угловому моменту знак над означает единичный вектор. Мы будем использовать обозначения для парциальных амплитуд. Информация о процессе рассеяния обычно представляется фазовым сдвигом с -матрицей в каждом канале а, определенной как

-матрица связана с амплитудой рассеяния:

Фазовые сдвиги в общем случае являются комплексными величинами. Их мнимые части отвечают неупругим процессам, которые ведут к выбыванию частиц из упругого канала. В пион-нуклонном рассеянии неупругости появляются выше порога реакции Поэтому фазовый сдвиг в -рассеянии является вещественным для значений кинетической энергии пиона ниже МэВ в лабораторной системе. По-другому удобно записать в виде

Полезной для работы величиной является -матрица [53, связанная с -матрицей соотношением

В отсутствие неупругостей величина вещественна и дается выражением

Когда -матрица вещественна, унитарность -матрицы, гарантирована автоматически. Для того чтобы проиллюстрировать физический смысл -матрицы, рассмотрим пример упругого резонанса в канале а при энергии . В резонансе фазовый сдвиг равен Если рассматривать -матрицу (2.35) как функцию комплексной энергии, то она имеет полюс на вещественной оси при S-матрицы (2.34) этот полюс сдвинут в комплексную плоскость так, чтобы соответствующая ширина резонанса удовлетворяла условию унитарности. Важным примером такого резонанса служит -изобара в канале

Около порога амплитуда рассеяния в канале с орбитальным моментом I пропорциональна -матрица определяет коэффициент пропорциональности

который принято называть длиной рассеяния в случае -волн и объемом рассеяния — в случае -волн.

Обычно фазовые сдвиги и длины рассеяния обозначаются индексами каналов Для орбитального углового момента используются спектроскопические обозначения для к которым присоединяется в качестве индекса. Таким образом, обозначают -волны с изоспином 1/2 и 3/2, соответственно; четыре -волновых канала соответствуют возможным комбинациям изоспина/спина 1/2 и 3/2, возникающим в парциальной волне с Принято обозначать -волновые длины рассеяния через соотвественно изоспиновым каналам 1/2 и 3/2, в то время как -волновые объемы рассеяния записываются в виде

2.4.2. Эмпирические свойства пион-нуклонного рассеяния

Амплитуды пион-нуклонного рассеяния детально исследованы вплоть до энергий 2,5 ГэВ в с.ц.м. [6]. Для кинетической энергии пиона ниже МэВ взаимодействие в сильной степени определяется и -волнами. Характерное поведение полного сечения и -рассеяния (рис. 2.2) показывает доминирующую роль -резонанса в -канале при МэВ. Вторая особенность, не очень заметная на рис. 2.2, заключается в слабости -волнового взаимодействия при низких энергиях. Это приводит к тому, что -волновое -рассеяние важно даже у порога.

Рис. 2.2. Полные сечения и -рассеяния как функции полной энергии в системе центра масс и импульса пиона в лабораторной системе

Параметры амплитуды у порога. Слабость -волнового взаимодействия у порога проще всего демонстрируется сравнением с нуклон-нуклонным рассеянием. Характерные величины длин -рассеяния и длин -рассеяния равны

Поэтому -волновое -взаимодействие намного слабе, чем -взаимодействие.

Длины -рассеяния и объемы рассеяния, определенные в (2.36), имеют следующие эмпирические значения:

Пороговые параметры для и -волн также известны из эксперимента. d-волновые параметры очень малы, по порядку величины

они составляют а -волновые параметры важны даже в еще меньшей степени. Эти параметры не имеют существенного влияния на пионную ядериую физику и мы в дальнейшем будем ими пренебрегать.

С точки зрения доминантности и -волн при низких и промежуточных энергиях полезно выписать амплитуду -рассеяния в общем виде:

с комплексными коэффициентами, зависящими от энергии. На пороге эти коэффициенты связаны с длинами и объемами рассеяния. Из разложения на парциальные волны (2.30) находим:

Используя (2.37), получаем

Параметры, приведенные в уравнениях (2.37) или (2.40), в сильной степени определяют низкоэнергетическое пион-нуклонное взаимодействие. Наиболее важными параметрами являются усредненные по спину и изоспину и -волновые параметры и -волновой параметр завиящий от изоспина. Параметры определяют процессы с переворотом спина. Они редко играют важную роль в общих свойствах -ядерных взаимодействий.

Сейчас мы кратко рассмотрим пороговые амплитуды в некоторых особо важных комбинациях.

1. -волновые объемы рассеяния определяются притягивающей амплитудой Такая особенность связана с -резонансом, который находится в этом канале. Все другие объемы рассеяния

— отталкивающие. Несмотря на то, что они малы по отдельности,

их когерентный вклад в важный параметр со заметен и уменьшает его значение более чем на 25%: от 0,29 до 0,21.

2. Усредненная по изоспину длина рассеяния очень мала, что находит естественное объяснение в рамках мягкопионных теорем (см. раздел 9.4.4). Малость имеет важное следстве для ядерного взаимодействия пионов при низких энергиях — главный вклад в когеретное -волновое рассеяние в ядрах подавлен.

3. Усредненная по спину амплитуда для р-волнового рассеяния на протоне равна со в то время как соответствующая усредненная по спину амплитуда рассеяния на нейтроне, даваемая разностью составляет только Это значит, что р-волновое нейтронное взаимодействие в среднем на порядок величины слабее, чем протонное взаимодействие. Для ситуация обратная. Это наблюдение важно, когда пионы используются в качестве выборочного инструмента исследования нейтронов или протонов в ядрах.

Зависимость фазовых сдвигов -рассеяния от импульса. Фазовые сдвиги -рассеяния были определены экспериментально в диапазоне энергий от порога до нескольких ГэВ. Здесь мы интересуемся прежде всего областью импульса в с.ц.м. МэВ/с, где доминирующие и -волновые фазовые сдвиги хорошо известны. Приведем наиболее характерные черты экспериментальных данных.

Рис. 2.3. Эмпирические пион-нуклонные -волновые фазовые сдвиги как функции импульса в системе центра масс (из работ Rowe et al., 1978)

(кликните для просмотра скана)

1. s-волновые фазовые сдвиги, показанные на рис. 2.3, экстраполируются от порога почти линейно как функция импульса. Это значит, что приближение длины рассеяния выполняется довольно хорошо в широком интервале энергий. При больших значениях энергии существует заметное отклонение от линейности и в канале с и в канале с которое указывает на примерно одинаковые отталкивающие вклады в обоих каналах.

2. р-волновые фазовые сдвиги, показанные на рис. 2.4, около порога пропорциональны Основная черта заключается в определяющей роли канала с . В этом канале фазовый сдвиг быстро нарастает до значения при — в точке, отвечающей -резонансу. Фазовые сдвиги остаются малыми, отрицательными (что соответствует отталкиванию), и медленно меняющимися во всей области. Фазовый сдвиг обладает более интересной структурой. Он мал и отрицателен при малых импульсах, но с увеличением импульса быстро отклоняется от зависимости При меняет знак и становится возрастающим с ростом импульса и притягивающим. Такое поведение отражает факт существования широкого резонанса в этом канале.

При больших энергиях появляется целый набор -резонан-сов в различных каналах. Свойства твердо установленных резонансов, расположенных ниже 1,6 ГэВ, сведены в табл. 2.1. В пионной ядерной физике важно принимать во внимание

и, в меньшей степени,

Таблица 2.1. Свойства -резонансов с массой меньше 1,6 ГэВ (см. скан)