2.3. Связь пиона и нуклона

2.3.1. Статическое пионное поле от точечного нуклонного источника

Рассмотрим классическое пионное поле вне бесконечно тяжелого точечного нуклона, который действует как источник этого поля. Возьмем сначала случай нейтрального пионного поля, для которого уравнение свободного поля (2.7) заменяется на

— слагаемое с источником. Из-за псевдоскалярной и изовекторной природы пиона, нуклонный источник должен также иметь псевдоскалярные и изовекторные свойства. Простейший вид источника для нуклона в точке

Здесь — константа связи, от и — спиновая и изоспиновая матрицы Паули, действующие на нуклонные спин-изоспиновые волновые функции, как это определено в Приложениях 2 и 3. В низшем порядке по операторам градиента функция источника (2.12) единственна: это — простейший вид статического псевдоскалярного изоь лсторного источника в длинноволновом приближении.

Используя функцию Грина уравнения (2.9), легко получить статическое пионное поле, являющееся решением уравнения (2.11):

Подстановка функции в явном виде дает:

Таким образом, пионное поле точечного нуклонного источника, расположенного в точке простирается на расстояние как

обсуждалось ранее. Для точечного источника в начале координат

где — единичный вектор в направлении х.

Те же аргументы для заряженных пионов при учете изоспиновой симметрии приводят к функции источника

которая заменяет в уравнении (2.11). Соответствующие поля равны

Результаты (2.14) и (2.15) почти полностью аналогичны магнитостатическому потенциалу создаваемому точечным магнитным диполем в точке с дипольным моментом . Этот потенциал дается выражением

которое имеет структуру, идентичную (2.14), но без зависимости от массы пиона. Магнитный дипольный момент является аналогом псевдовекторного дипольного момента — Для диполя в начале координат потенциал имеет характерную зависимость

Так же ведет себя и пионное поле в (2.15) при Необходимо отметить, что короткодействующее приближение для пионного поля верно для больших расстояний, чем приближение для юкавского поля

Аналогия с магнетизмом показывает, что точечноподобное приближение для пионной функции источника имеет ту же природу, что и описание протяженных классических электрических и магнитных дипольных источников на языке точечных дипольных моментов.

2.3.2. Псевдоскалярная и псевдовекторная связь

Функция источника для пионов, описанная в предыдущем разделе, может быть получена как длинноволновый предел релятивистского пион-нуклонного лагранжиана. Пусть обозначает свободное нуклонное поле с массой М, удовлетворяющее уравнению Дирака

(см. Приложение 4(б)). Рассмотрим простейший локальный лагранжиан -взаимодействия, линейный по псевдоскалярно-изовекторному пионному полю или его производной Лагранжиан является скаляр-изоскалярной величиной, поэтому в первом случае нуклонные поля должны появляться в псевдоскалярно-изовекторной комбинации. Это приводит к лагранжиану с псевдоскалярной (ПС) связью

Во втором случае производная комбинируется с псевдоскалярно-изовекторным нуклонным током. Это приводит к лагранжиану с псевдовекторной (ПВ) связью

На первый взгляд может показаться, что содержит более высокие производные, чем Однако это не так: псевдоскалярное взаимодействие недиагонально по большой и малой компонентам нуклонной дираковской волновой функции; эта связь большой и малой компонент вводит производные. Фактически ПВ-связи дают одинаковые результаты для нуклонов, удовлетворяющих свободному уравнению Дирака (2.20). Чтоб это увидеть, рассмотрим матричный элемент перехода для лагранжианов (см. подробное изложение в Приложении Интегрированием по частям можно перенести производную, действующую на пионное поле, на нуклонные поля, а затем воспользоваться уравнением Дирака, чтобы заменить выражение на Получим, что эквивалентны при условии, что константы связи соотносятся как

С другой стороны, для связанных нуклонов ПС и ПВ связи не идентичны. В ядрах, например, эта эквивалентность выполнена лишь приближенно.

Нетрудно показать, что в нерелятивистском приближении приводят к эффективному гамильтониану взаимодействия (см. (П6.13)):

Экспериментальные величины для констант связи были определены точно из пион-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяния и оказались равными: