4.2. Полное пион-дейтронное сечение и амплитуда рассеяния вперед

4.2.1. Импульсное приближение

Особенно интересна связь между полным -сечением и -амплитудами. Полное сечение складывется из сечений следующих процессов: упругого -рассеяния, неупругого -рассеяния с развалом дейтрона, реакции поглощения , при более высоких энергиях, каналов с рождением пиона.

В случаях, когда становятся важными такие процессы, как уже не очевидно, что будет достаточно описания на

языке -амплитуд. Сейчас мы исследуем этот спорный вопрос более детально.

Простейшее приближение для полного сечения заключается в рассмотрении дейтрона как состоящего из двух "свободных” нуклонов. Тогда полное сечение равно сумме полных сечений для начальной энергии пиона со:

Это — импульсное приближение, которое описывает нуклоны в дейтроне как статические объекты и пренебрегает как всеми перерассеяниями и эффектами связи, так и процессами поглощения.

На рис. 4.1 и 4.2 дано сравнение точных экспериментальных данных о полном -сечении с суммой -сечений. С точки зрения простоты метода, это описание является удивительно хорошим во всей области лабораторных энергий пиона от энергии менее 100 МэВ до 1 ГэВ.

Сечение этого процесса непосредственно определяется вкладами -резонансов, правда, за исключением небольших систематических отклонений. В частности, по сравнению с суммой пион-нуклонных сечений -резонансные структуры везде уширены с малым, но систематическим уменьшением сечения. Первый эффект можно приписать доплеровскому уширению из-за движения нуклонов в дейтроне, в то время как второй эффект — затенению нуклонов друг другом, т.е. поправке на двойное рассеяние. Оба

Рис. 4.1. Полное сечение -рассеяния в области в сравнении с суммой сечений Для сравнения приведена сплошная линия, показывающая "полную теорию”. Она включает поправки на движение нуклонов и поправки на двукратное рассеяние, а также малые дополнительные слагаемые (из работы Pedroni ei al., 1978)

Рис. 4.2. (см. скан) Полное сеченне -рассевния в области высших нуклонных резонансов; кривые — те же, что и на рис. 4.1 (из работы FSldt and Ericson, 1968)

эффекта удобнее всего обсуждать на языке амплитуды рассеяния вперед.

4.2.2. Амплитуда пиd-рассеяния вперед

Амплитуда рассеяния вперед для падающего и рассеянного пиона с импульсом зависит от спина дейтрона

Полное сечение связано с мнимой частью амплитуды оптической теоремой (П12.8)

Рассмотрим сейчас физику -рассеяния вперед, представляя его как последовательный ряд однократных рассеяний. Поскольку однократное -рассеяние порождает максимум линейные по слагаемые, оно дает вклад лишь в Член, пропорциональный

требует, по крайней мере, двукратного рассеяния, так как он билинеен по . Спиновая зависимость этой малой поправки в дальнейшем обсуждении будет опущена.

Импульсное приближение для амплитуды рассеяния вперед представляет собой просто когерентную сумму рассеяний на нейтроне и протоне. Сейчас мы обсудим доплеровский сдвиг, возникающий от движения нуклона, и поправки на перерассеяние (Faldt and Ericson, 1968).

4.2.3. Поправки на движение нуклона

Доплеровский сдвиг легко получается в пределе малых скоростей нуклона Распределение по импульсу нуклона выражается через фурье-образ и -волновых функций дейтрона определенных в (3.28)-(3.30):

так что нормированная функция импульсного распределения равна

Рассмотрим теперь амплитуду рассеяния вперед пиона с импульсом и энергией со в лабораторной системе . В приближении однократного рассеяния она состоит из когерентной суммы и -амплитуд рассеяния вперед относящихся к нуклонам, движущимся с импульсом внутри дейтрона (считаем, что частицы находятся на массовой поверхности). Амплитуда однократного рассеяния вперед с уширением за счет доплер-эффекта равна

Когда -амплитуды переписаны в системе покоя нуклона, основной эффект нуклонного движения сводится к сдвигу энергии пиона. Это можно понять, если заметить, что энергия а) пиона в системе покоя нуклона в первом порядке по скорости равна

Учет движения нуклонов важен в области -резонансов. Вводя связь (4.7) в амплитуды (4.6), находим, что резонансные структуры систематически размазываются по интервалу энергий, обычно составляющих ±5% от энергии первичного пиона. Эффект в полном сечении виден на рис. 4.2. Доплеровское уширение обладает тем свойством, что сечение, проинтегрированное по энергии в области каждого отдельного резонанса, остается неизменным.

4.2.4. Поправка на двукратное рассеяние

В дополнение к поправкам к импульсному приближению за счет движения нуклонов, вклад будет давать также перерассеяние пиона на втором нуклоне. Так как эта поправка мала, ее можно вычислить в пренебрежении движением нуклона и эффектами связи в дейтроне. Оценка двукратного рассеяния (см. рис. 4.3) становится особенно простой в случае рассеяния вперед при высокой энергии (т.е. малой длине волны).

Рис. 4.3. Схематическая картинка двукратного рассеяния на статических нуклонах дсйтроиа

Мы обсудим этот эффект при следующих условиях: , где — импульс пиона, — радиус дейтрона;

велик по сравнению с размером отдельного рассеивающего центра, т.е. по сравнению с размерами нуклонов.

Комбинация этих двух условий приводит к тому, что промежуточный пион на рис. 4.3 распространяется предпочтительно вперед с энергией, равной начальной, т.е. . Причины для этого — следующие.

Большой размер дейтрона эффективно подавляет большие передачи импульса в отдельных событиях пион-нуклонного рассеяния, так как размер волновой функции дейтрона определяется импульсными компонентами порядка Для это значит, что и должны быть примерно равными. Более того, малый размер рассеивающих центров в сравнении с боыпим средним расстоянием между ними означает, что пион распространяется между этими двумя центрами как свободная сферическая волна

Следовательно, амплитуда -двойного перерассеяния вперед становится равной (опускаем на время процессы с перезарядкой)

где волновая функция дейтрона с После усреднения по ориентациям спина дейтрона интеграл (4.8) преобразуется к

Теперь заменим быстро осциллирующую функцию ее средним значением: Тогда полное слагаемое двукратного рассеяния (глауберовская теневая поправка), включающее амплитуды -перезарядки , равно (Glauber, 1955; Wilkin, 1966)

где знак минус перед слагаемьш с перезарядкой появился от средней величины оператора для изоспина нуль.

Выражение (4.10) верно до порядка и поэтому является все еще хорошим приближением в области резонанса.

Амплитуда -рассеяния вперед, включающая однократное и двукратное рассеяние, становится равной

Если переписать это выражение через изоспиновые амплитуды для и 3/2, соответственно, то получим

где

В резонансе . С учетом из реалистической волновой функции дейтрона получаем оценку отношения амплитуд двукратного и однократного рассеяния Эта теневая поправка имеет правильные знак и величину, что позволяет объяснить наблюдаемое полное сечение, которое хорошо воспроизводится в более детальном вычислении (см. рис. 4.1).

4.2.5. Вещественная часть пиd-амплитуды рассеяния вперед

Косвенное определение вещественной части амплитуды рассеяния вперед возможно при использовании дисперсионных соотношений (см. Приложение 12). Амплитуда рассеяния вперед является аналитической функцией энергии пиона . Следовательно, вещественная часть связана с мнимой частью дисперсионным интегралом по области

Для амплитуды, усредненной по спину, задача эффективно сводится к рассеянию пиона на бесспиновом дейтроне. Кроссинг-симметрия связывает амплитуду при отрицательных частотах с комплексно сопряженной амплитудой Область интегрирования поэтому сводится к интервалу

Рассмотрим дисперсионное соотношение для функции, равной разности которое дает выражение для вещественной части

Интеграл в смысле главного значания с правой стороны экспериментально хорошо известен в физической области со где согласно

Вклады от нефизической области ниже порога очень малы. Они происходят, в основном, от одиночных нуклонных слагаемых, которые в импульсном приближении сводятся к сумме протонной и нейтронной борновских амплитуд, усредненных по спину. Так как дейтрон имеет изоспин нуль, эта сумма зануляется в статическом пределе, что можно легко видеть из (2.46). Главный нестатический вклад порядка равен

Существуют дополнительные малые поправки от экстраполяции процесса поглощения - под порог

Константа вычета определяется вещественной частью длины рассеяния которая и составляет главную экспериментальную неопределенность. Ее величина равна Из этого рассмотрения получается "экспериментальная" величина для показанная на рис. 4.4. Как и для полного сечения, в этом случае хорошим приближением является уже сумма амплитуд на нейтроне и протоне. Основная поправка опять происходит от движения нуклона. Двукратное рассеяние дает положительный вклад выше -резонанса и отрицательный — ниже -резонанса. Эти поправки можно оценить, следуя процедуре, описанной в разделах 4.2.3 и 4.2.4. Результат

Рис. 4.4. (см. скан) Вещественная часть амплитуды -рассеяния вперед, полученная из экспериментальных данных с помощью дисперсионного соотношения (4.14), в сравнении с когерентной суммой и -амплитуд рассеяния вперед, усредненных по спину работы Pedroni et al., 1978)

таких вычислений близок к эмпирической величине полученной из дисперсионного соотношения.

4.2.6. Ограничения на дейтрон из пиd-рассеяния

Исследование сечения (см. рис. 4.1) показывает, что с включением движения нуклонов и поправок на двукратное рассеяние мы получаем описание, свободное от параметров, на уровне точности в несколько процентов в области энергий от значений ниже 100 МэВ и вплоть до 1 ГэВ. Наиболее важное предположение состоит в том, что дейтрон состоит из нуклонов, которые рассеивают пионы так же, как свободные нуклоны, за исключением кинематических поправок и поправок на энергию связи. Естественным следствием этой картины является четко видимое проявление пион-нуклонных резонансов в -сечении, хотя и уширенных за счет движения нуклонов.

Ясно, что описание дейтрона как совокупности двух нуклонов — это идеализированный предел. Мезонное теоретическое рассмотрение -сил с необходимостью вводит новые степени свободы. Ожидается, что на малых расстояниях важны поправки на внутреннюю структуру двух перекрывающихся нуклонов. Такие степени свободы появляются как дополнительные компоненты волновой функции дейтрона. Они изменяют полное сечение по двум причинам. Во-первых, они уменьшают доминирующие нуклонные компоненты в волновых функциях и, следовательно, уменьшается

сечение, особенно в области -резонансов. Во-вторых, они дают свой собственный вклад в полное сечение, вообще говоря, с другой силой в сравнении с двумя свободными нуклонами.

Высокая точность описания полного -сечения теперь может быть использована для получения верхнего предела на более экзотические компоненты в волновой функции дейтрона. Факт отсутствия аномалий дает ограничения на величину этих компонент на уровне менее чем несколько процентов.