5.2. Классическое дипольное рассеяние в среде

5.2.1. Рассеяние на одиночном диполе

Рассмотрим слабое внешнее поле падающее на точечноподобный и массивный дипольный рассеиватель, зафиксированный в начале координат. Отклик, линейный по этому полю, приводит к возникновению дипольного момента пропорционального напряженности приложенного поля при

Константа с определяет дипольную поляризуемость рассеивателя. Предположим, что внешнее поле удовлетворяет волновому

уравнению с волновым числом Индуцированный дипольный момент приводит к расходящейся диполыюй волне

Эта ситуация как раз и описывает -волновое рассеяние на фиксированной мишени. Когда начальное внешнее поле представляет плоскую волну а расходящееся поле на бесконечности имеет волновой вектор соответствующая р-волновая амплитуда рассеяния равна

5.2.2. Рассеяние на системе диполей

Рассмотрим таких же, как и в разделе 5.2.1, точечных диполей, расположенных в точках Коща начальная волна взаимодействует с этой системой, взаимное рассеяние дипольных волн изменяет общее распространение волны. Каждый рассеиватель дает вклад пропорционально своему индуцированному дипольному моменту Вводится плотность индуцированных диполей или поляризация определяемая как

Тогда полное поле равно сумме вкладов от начальной волны и расходящихся волн от каждого из рассеивателей:

Интегральное соотношение можно переписать в дифференциальном виде, действуя оператором на обе стороны равенства

где было использовано тождество

Рассмотрим теперь протяженную среду рассеивателей, описываемую распределением плотности усредненной по положениям отдельных рассеивающих центров. Средняя напряженность поля в среде равна

Как и в электромагнетизме, удобно ввести вектор смещения определяемый как

где поляризация среды представляет собой индуцированный дипольный момент единицы объема (5.4). Вместе с уравнением (5.6) это дает соотношение

По определению индуцированного дипольного момента поляризация пропорциональна эффективной напряженности поля действующего на отдельный рассеиватель, расположенный в точке Следовательно, поляризация равна

где с задается уравнением (5.1).

В общем случае отличается от средней напряженности поля Е в среде. В то время, как изменяется локально и отражает распределение рассеивателей, эти изменения сглажены в среднем поле Е. Ясно, что в пределе малой плотности разница между и Е исчезает. В этом пределе из уравнений (5.10), и (5.6) получаем, используя

где мы ввели

и где

Полезно переписать уравнение (5.10) через среднее поле Е,

которое определяет дипольную восприимчивость среды (в пионной физике принято вводить со знаком, противоположным тому, который используется в электромагнетизме). Связь между и восприимчивостью первого порядка (5.12) является характеристикой рассматриваемой среды. Ее мы сейчас и выведем при упрощающих предположениях о корреляциях между рассеивающими центрами в среде.

5.2.3. Поправка Лоренц—Лоренца: элементарный вывод

Давайте рассмотрим идеализированный случай однородной среды из непроницаемых дипольных рассеивателей, которые в остальном являются некоррелироваными. Таким образом предполагается, что рассеивающие центры занимают объем, внутри которого не должно находиться никаких других рассеивателей, и что размер этого объема мал по сравнению с характерной длиной волны поля, распространяющегося в среде. Такая картина возникает,

например «яда, когда существуют короткодействующие антикорреляции, предохраняющие от перекрывания рассеивателей.

Физическая ситуация, описанная здесь, аналогична ситуации, характерной для закона Клаузиуса—Моссотти и эффекта Лоренц—Лоренца в оптике [2]. Объем, приходящийся на одиночный рассеиватель, соответствует полости в поляризуемой среде. В этом идеализированном примере связь между эффективной и средней напряженностями поля можно получить в замкнутом виде элементарными методами в длинноволновом пределе. Мы сначала представим этот простой случай, а после дадим более общую формулировку, непосредственно основанную на использовании парных корреляций.

Рассмотрим дипольный рассеиватель внутри сферической полости радиуса в поляризуемой среде (рис. 5.1). Вне полости поле — это поле однородной среды, определяемое средней напряженностью поля Внутри полости решение содержит как падающее, так и рассеянное дипольное поле, связанное с напряженностью эффективного поля в центре полости. Следовательно, поля равны

где — дипольная поляризуемость отдельного рассеивателя. На поверхности полости и поле и радиальная компонента вектора смещения должны быть непрерывны (см. рис. 5.1). Согласно уравнениям (5.8) и (5.13) мы имеем

Рис. 5.1. Граничные условия для поля дипольного источника внутри полости в однородной поляризуемой среде

для для Следовательно, граничные условия при имеют вид:

Это дает

с

не зависящим в длинноволоновом пределе от Из уравнений (5.10), (5.12) и (5.13) получается нелинейное соотношение для дипольной восприимчивости среды:

Используя это соотношение и равенство (5.16), получаем

Характерный эффект перенормировки, содержащийся в (5.18) и (5.19), имеет очень общую природу. Восприимчивость в первом порядке, порождаемая отдельными центрами рассеяния, пропорциональна элементарной поляризуемости диполя с и плотности рассеивателей Эта восприимчивость перенормируется мультипликативным фактором из-за различия в напряженности эффективного поля, действующего на центр, и напряженности среднего поля в среде. Тогда полная восприимчивость получающаяся при единственном предположении, что существует механизм, который препятствует перекрытию рассеивателей, дается соотношением (5.18) с классической величиной для параметра перенормировки в длинноволновом пределе . В заключение мы возвратимся к волновому уравнению (5.11) в первом порядке. Поправки на эффективное поле равнозначны замене локальной величины восприимчивости на соответствующую перенормированную локальную восприимчивость:

откуда получается

Выражение в правой стороне уравнения вводит р-волновую поляризационную функцию, зависящую от скорости,

В данном контексте эта величина обычно называется собственной энергией или оптическим потенциалом. В дальнейшем она будет часто использоваться. Перенормировка эффективного поля происходит аналогичным образом и для р-волнового рассеяния пионов в ядерной среде. Тогда она называется пионным эффектом Лоренц—Лоренца.

5.2.4. Эффект Лоренц—Лоренца: метод парных корреляций

Результат (5.19) элементарного вывода также можно получить и в более общей форме, расматривая парные корреляции дипольных рассеивателей (Ericson and Ericson, 1966). Важным моментом в получении соотношения между эффективной и средней напряженностями поля является представление о том, что диполям не разрешено совпадать в пространстве, т.е. два рассеивателя антикоррелируют на малых расстояниях. Другими словами, когда диполь расположен в определенной точке пространства плотность остающихся по соседству диполей равна нулю. На больших расстояниях корреляции не играют роли, и плотность приближается к средней плотности однородной среды. Коррелированная плотность соответствующая этой ситуации, определена как (выбираем произвольно в качестве начала координат):

называется парной корреляционной функцией и имеет следующие свойства.

Так как коррелированная плотность исчезает при то

Нормировка следует из того факта, что она компенсирует рассеивающий центр в начале координат: рождается «дырка» в среде с интегральной плотностью, соответствующей удалению ровно одного рассеивателя. Поэтому

Функция описывает форму исключенной плотности около . Примером служит полость, рассмотренная в предыдущем разделе, для которой для для

Давайте рассмотрим эффективную напряженность поля при Она порождается всеми диполями, кроме одного, находящегося в начале координат. Наоборот, средняя напряженность поля дается всеми диполями в среде, описываемыми средней

плотностью Эти две напряженности поля отличаются вкладами от рассеивателей, идущими от корреляционной «дырки», связанной с плотностью коррелированных пар При этом получаем связь между Еэфф и Е:

где с — дипольная поляризуемость отдельных рассеивателей.

Давайте предположим, как и раньше, что только в области, малой по сравнению с длиной волны поля. Тогда эффективная напряженность поля в этой области имеет постоянную величину Сделаем следующее упрощающее предположение: функция корреляции пар сферически симметрична: . В длинноволновом приближении мы также считаем Следовательно, в интеграл в уравнении (5.26) дает вклад только центральная (сферически симметричная) часть выражения и поэтому

Получаем:

Для непроницаемых диполей и мы снова находим связь