5.7. Взаимодействие пионов с ядерным ферми-газом

5.7.1. Основные свойства ферми-газа

Ядерная материя в пределе ферми-газа описывается как ансамбль невзаимодействующих точечных нуклонов, подчиненных принципу Паули и занимающих континуум состояний в импульсном пространстве [4]. В основном состоянии все уровни заполнены до импульса Ферми так, что числа заполнения для нуклонов импульса равны

Протоны и нейтроны занимают раздельные ферми-сферы с импульсами Ферми соответственно. Каждое импульсное состояние имеет дополнительное вырождение из-за двух возможных

направлений спина. Плотность как протонов, так и нейтронов составляет

Полная плотность связана с плотностью протонов и нейтронов соотношением

в симметричной ядерной материи следовательно,

Энергия Ферми равна Характерные величины для нормальной ядерной материи имеют значения

Нуклонные состояния можно разделить на два класса:

1) "частичные" состояния с

2) "дырочные" состояния с — они соответствуют удалению частицы с импульсом, меньшим при этом образуется вакансия в ферми-сфере.

Заполненная ферми-сфера играет роль нового вакуумного состояния 10). Во вторичном квантовании вводятся операторы рождения и уничтожения частиц и дырок (см., например, Bohr and Mottelson, 1969). Нуклонное состояние с импульсом и -компонентой спина обозначается как Состояние частицы записывается как

Операторы рождения частицы и соответствующие операторы уничтожения а удовлетворяют фермионным коммутационным соотношениям. Квантовые числа дырочного состояния связаны с квантовыми числами проаннигилировавшего нуклона оператором обращения времени Фактически, чтобы была рождена дырка с импульсом и проекцией спина необходимо убрать частицу Следовательно, дырочное состояние можно записать в виде

Это соотношение определяет оператор рождения дырки Соответственно,

Простейшими возбужденными состояними ферми-газа являются состояния, полученные передвижением частицы из ферми-сферы в состояние с при этом рождается частичнодырочная пара . Когда частично-дырочное состояние несет квантовые числа пиона, его называют "пионоподобным".

5.7.2. Собственная энергия пиона

Рассмотрим распространение пиона с энергией и импульсом к в бесконечной ядерной среде. Напомним, что пропагатор пиона в отсутствие взаимодействий равен (см. (2.5) и Приложение

Полюсы определяют свободный пионный спектр, Для пионного поля, распространяющегося в ядерной среде, спектр будет сильно изменен из-за взаимодействия пиона с нуклонами в ферми-море. В разделах 5.2-5.5 мы уже обсудили изменения волнового уравнения пиона в среде в простых ситуациях рассеяния. Мы нашли, что взаимодействие со средой может быть записано в терминах "потенциала” или в терминах собственной энергии пиона П. Это понятие обобщается сейчас на произвольные энергии и импульсы. Полный пропагатор пиона в среде дается выражением

где — только что указанная собственная энергия.

Понятие собственной энергии пиона является достаточно общим. Его вводят не только применительно к задачам рассеяния, как в разделе 5.5, где собственная энергия играет роль (в общем случае комплексного) оптического потенциала. Как будет показано, она описывает также низкочастотные возбуждения системы, вызванные связью пионного поля с низколежащими частично-дырочными состояниями.

Собственную энергию пиона часто называют поляризационным оператором. Этот термин подчеркивает механизм, посредством которого среда откликается на пионное поле. В настоящей задаче существуют фактически два основных поляризационных процесса: внутреннее возбуждение нуклона в А (1232) и ядерная многочастичная поляризация за счет возбуждения нуклон-дырочных пар.

И, наконец, мы отметим, что сингулярности полного про-пагатора , т.е. решения так называемого дисперсионного уравнения,

определяют спектр пионоподобных возбуждений ядерной среды.

5.7.3. р-волновая собственная энергия пиона в низшем порядке: нуклонные слагаемые

Здесь мы опишем главные члены во взаимодействии пионного поля с ядерным ферми-газом, отправляясь от основного р-волнового -гамильтониана взаимодействия (2.24), пропорционального а . Выраженный через операторы вторичного квантования для нуклон-ных состояний он равен

где знак произведения понимается как

В первом порядке отклик среды на пионное поле дается возбуждением пары частица—дырка, как показано на рис. 5.3. Изменение энергии пиона за счет этого процесса может быть получено в стандартной теории возмущений во втором порядке по . В схематичном виде поправка второго порядка к энергии пиона от этого процесса равна

где относятся к частице и дырке. Перекрестный вклад, изображенный на рис. 5.3, получается по правилам кроссинг-симметрии заменой в прямом, слагаемом

Обратимся сейчас к точной оценке собственной энергии пиона в первом порядке

в нейтронном газе. Для удобства мы сначала рассмотрим случай чистого нейтронного газа с влетающим в него Основной процесс есть . В этом случае дает вклад только слагаемое с прямым процессом, показанном на рис. 5.3, так как ферми-моря протонов нет. Тогда собственная энергия пиона равна

где — энергия нейтронной дырки,

— энергия протона—частицы- Множитель 2 происходит от изоспинового матричного элемента и от спина. Вводя функцию Мигдала

Рис. 5.3. Вклады в собственную энергию пиона первого порядка от нуклон-дырочных промежуточных состояний

получаем

(Явный вид функции приведен в Приложении 15 (П15.10)). В пределе членом в (5.81) можно пренебречь и собственная энергия сведется тогда к виду

где — плотность нейтронов (5.69). В статическом пределе сравнивая с (2.46), мы приходим к выражению , где — борновская амплитуда -рассеяния, усредненная по спину, что аналогично результату первого порядка для многократного рассеяния (5.64).

в нейтронном газе. Теперь основной процесс есть Так как может аннигилировать лишь на уже существующей (протонная частица — нейтронная дырка)-паре, то вклад дает только перекрестное слагаемое. Соответствующая собственная энергия равна

В терминах функции Мигдала (5.81) мы имеем

Очевидно, что связаны друг с другом преобразованием кроссинга: , к Изменение знака к не важно, так как П зависит только от пределе

имеем

в нейтронном газе. Основным процессом является . Следовательно, одновременно дают вклад и прямой, и перекрестный члены, изображенные на рис. 5.3. В прямом слагаемом числа заполнения теперь умножаются на чтобы можно было учесть запрет Паули на занятые нейтронные состояния. Однако эффект принципа Паули сокращается в сумме прямого и перекрестного членов. Следовательно, соответствующая собственная энергия

Функция

называется функцией Линхарда. Ее явное выражение дано в Приложении 15 (П15.4). Отметим, что изоспиновый множитель в (5.87) равен просто . В пределе имеем

Укажем еще раз, что в области рассеяния пиона этот результат идентичен соотношению

где — борновская амплитуда (2.44) для -рассеяния вперед, усредненная по изоспину.

Пионы в симметричной ядерной материи. Рассмотрим теперь случай равного числа нейтронов и протонов на единицу объема. Стартуя с собственной энергии мы можем сослаться прямо на результат (5.87) для в нейтронном газе и добавить соответствующее слагаемое для взаимодействующих с протонным газом. Так как совпадает с в симметричной ядерной материи, то мы получаем

В силу изоспиновой симметрии задачи для в симметричной ядерной материи получается одинаковый результат:

Из определения пионной восприимчивости следует, что вклад в эту величину от нуклон-дырочных пар равен

Интересно рассмотреть следующие предельные случаи.

1. Предел высоких частот и малой плотности. В пределе мы находим

Эта ситуация характерна для нерезонансного р-волнового рассеяния физических пионов. Важно отметить, что при (предел статических нуклонов): в статическом пределе отсутствует отклик симметричной ядерной материи на рассеиваемую пионную волну за счет только нуклон-дырочных пар! На языке это просто отражает тот факт, что нуклонные промежуточные состояния дают вклад только в борновскую амплитуду рассеяния вперед Борн» усредненную по спину и изоспину, которая исчезает в статическом пределе, как это видно из (2.46).

2. Предел низких частот. При разложение функции Линхарда данное в Приложении 15, приводит к

Этот предел относится к пионоподобным низкоэнергетическим возбуждениям в симметричной ядерной среде. Результат (5.95) можно понять, если учесть, что возбуждения с малыми и к включают только состояния вблизи поверхности ферми-сферы. Таким образом, восприимчивость должна быть пропорциональна плотности состояний

взятой при Множитель 4 учитывает степени свободы, связанные со спином и изоспином. Используя получаем:

Важно заметить, что — большая величина. Для нормальной плотности ядерной материи находим, что восприимчивость Эта оценка — оценка сверху, так как взаимодействие нуклона с окружающей средой приводит к

эффективной массе нуклона в (5.97). Учет такого эффекта ведет к 20-30%-ному уменьшению величины которая, однако, остается все еще заметно больше единицы. Если бы только что рассмотренное простое приближение было законно, то возникли бы важные следствия для свойств основного состояния ядерной материи. На самом деле, дисперсионное уравнение (5.77) имеет приближенное решение при

Следовательно, система имеет пионную моду с нулевой частотой и импульсом к О, встроенную в ее основное состояние. Это явление, называемое пионной конденсацией, будет обсуждаться более детально и при более реалистических условиях в разделе 5.12.

5.7.4. р-волновая собственная энергия пиона в низшем порядке: А(1232)-слагаемые

При обсуждении нуклон-дырочных вкладов в собственную энергию пиона в симметричной ядерной материи в разделе 5.7.3 было найдено, что такие слагаемые зануляются в пределе статических нуклонов и высокой частоты. Кроме того, было обнаружено, что вклады от -резонанса имеют принципиальную важность в рассеянии пионов в ядерной среде (см. раздел 5.5). Следовательно, к пионной собственной энергии в низшем порядке необходимо добавить часть, которая включает внутренние возбуждения нуклона, находящегося ниже поверхности Ферми, в А (1232), как показано на рис. 5.4. Разделяя собственную энергию пиона на вклады от нуклон-дырочной и -дырочной восприимчивостей и имеем

Рис. 5.4. Вклады в свободную энергию пиона первого порядка от -дырочных промежуточных состояний

Для ферми-газа, симметричного по сливу и изоспину, восприимчивость равна

перекрестное слагаемое

Перекрестное слагаемое получается из прямого заменой . -константа связи определена в разделе 2.5.2. Суммирования по спину и изоспину с использованием -переходных операторов и Т из (П3.14), (П3.19) и (П4.37)-(П4.39) дают каждое по множителю 4/3, приводя к общему множителю 16/9.

Для невзаимодействующей -изобары нерелятивистская энергия равна

где . Пренебрегая членами с отдачей, такими как по сравнению с получаем

На пороге этот результат совпадает с р-волновой восприимчивостью в низшем порядке для статических рассеивателей,

где — р-волновой объем рассеяния, усредненный по спину и изоспину (2.58).

При нулевой энергии возбуждения нуклон-дырочная восприимчивость доминирует, однако

все еще дает вклад в полную восприимчивость, равный при нормальной плотности ядерной материи (используя ). Это само по себе — вполне большое число.

При энергиях рассеяния необходимо учитывать физический процесс распада Он добавляет к свободную ширину распада из (2.46)

Дополнительные взаимодействия А с окружающими нуклонами могут изменить массу и ширину А в среде. Такие поправки должны бьггь учтены при обсуждении пион-ядерного рассеяния (см. гл. 7).

5.7.5. s-волновая собственная энергия пиона в низшем порядке

В окрестности -волновая собственная энергия пиона для двухкомпонентной системы протонов и нейтронов связана с соответствующими длинами -рассеяния уравнением (5.42). Для отрицательных пионовполучаем

При использовании (2.40) это приводит к соотношению

где — нормальная плотность ядерной материи. Отметим, что коэффициент при слагаемом, пропорциональном на порядок больше, чем при первом слагаемом. Поэтому для симметричной ядерной материи -волновая собственная энергия очевидно, мала. Для нейтронной же материи, которая рассматривается при обсуждении нейтронных звезд, второе слагаемое в уравнении (5.107) имеет заметную величину и является отталкивающим.