2.5.2. (1232)-изобарная модель

Примем сейчас модель, в которой -изобара представляет собой самостоятельный вид бариона в дополнение к нуклону. В этой модели предполагается, что внутренняя структура А-резонанса не проявляется: не важно, связана ли эта структура с пион-нуклонной динамикой или с кварковой физикой.

В этом же духе, по аналогии с -связью (2.4) мы введем гамильтониан эффективного взаимодействия который связывает нуклон и А (1232) путем поглощения или испускания пиона (как показано на рис. 2.7):

Рис. и -вершины, соответствующие гамильтонианам взаимодействия где э.с. обозначает эрмитово сопряжение. Здесь — константа связи и — соответственно спиновый и изоспиновый операторы перехода, связывающие спин и изоспин состояний 1/2 и 3/2. Операторы и Т определены так, чтобы их матричные элементы становились просто коэффициентами Клебша—Гордана, связывающими состояния с проекциями спина

Оператор перехода может быть получен из формализма Рарита—Швингера для полей со спином 3/2. Аналогичное соотношение выполнено и для Т. (Подробные свойства и соотношения даны в Приложении

Рассмотрим сейчас модель, которая объединяет и -связи. Гамильтониан эффективного взаимодействия представляющий процесс, изображенный на рис. 2.7, имеет вид суммы:

-матрица, получающаяся из этого гамильтониана взаимодействия только с нуклоном и дает поучительную модель пион-нуклонного рассеяния. Мы помним, что -матрица имеет полюсы на вещественной оси для каждого промежуточного состояния в амплитуде рассеяния, и что каждый полюс расположен при физическом значении массы соответствующего состояния. Следовательно, в дарном случае существуют полюсы, отвечающие нуклону и -изобаре, как показано на рис. 2.5 (а и в). В добавление существут полюсы от перекрестных процессов (рис. 2.5 (б и г)). Прямое и перекрестное слагаемые обязательно возникают вместе, как этого и требует кроссинг-симметрия.

Поступим аналогично процедуре, приведшей к нуклонной борновской амплитуде в предыдущем разделе, но сейчас — с включением Отождествляя нуклонное борновское слагаемое с соответствующей частью -матрицы и добавляя прямой и перекрестный вклады, мы находим в статическом пределе:

(Здесь — разница масс А (1232) и нуклона.) Отметим еще раз, что -матрица инвариантна относительно операции кроссинга: а Проекция на р-волновые собственные каналы, производимая аналогично тому, как это было сделано для нуклонного борновского слагаемого, дает -матрицу для парциальной волны

Это есть основной результат статической -изобарной модели. Амплитуды , -волнового разложения (2.38) на пороге равны

Параметры не имеющие в статическом пределе вкладов от нуклонных борновских слагаемых, теперь определяются -изобарой. Так как параметр со очень важен в ядерных приложениях, это означает, что прямое и перекрестное слагаемые определяют р-волновые пион-нуклонные взаимодействия даже на пороге, т.е. очень далеко от самого -резонанса.

Теперь наиболее характерные черты р-волнового взаимодействия воспроизведены. Сразу же отметим, что соотношения верны вне зависимости от численного значения и находятся в количественном согласии с экспериментальными данными. Более того, и низкоэнергетические параметры, и, как мы увидим ниже, ширина резонанса вполне хорошо воспроизводятся, если выбрать При такой величине константы связи низкоэнергетические параметры равны:

что удовлетворительно согласуется с экспериментальными значениями, приведенными в табл. 2.2. Еще раз подчеркнем, что в этой модели определяются по существу -изобарой, в то время как определяются нуклоном, а присутствие оказывает на них лишь умеренное влияние.

Полезно также выразить эти величины через пороговые амплитуды

которые можно сравнить с экспериментальными значениями, приведенными в табл. 2.3. Результаты снова вполне удовлетворительны, за исключением параметра который соответствует существенно большему отталкиванию в статической модели, чем в эксперименте.

Давайте исследуем сейчас энергетическую зависимость -амплитуды. Элемент -матрицы из уранения (2.57) связан по формуле (2.35) с соответствующей амплитудой в парциальной волне:

Так как унитарность здесь учтена корректно, такая процедура дает должную ширину распада в рамках обсуждаемой модели. Чтобы это увидеть, будем пренебрегать очень малым вкладом в от перекрестного слагаемого. В приближении для константы связи находим

Из выражения (2.61) получаем:

где ширина распада равна

Ширина растет, как что соответствует барьерному множителю, пропорциональному относящемуся к парциальной волне с орбитальным угловым моментом . В резонансе мы имеем Модель -изобары дает:

Эту величину нужно сравнивать с экспериментальным значением МэВ. Таким образом, статическая -изобарная модель способна описать основные особенности р-волнового взаимодействия

в интервале энергий от порога до области за -резонансом, используя в качестве свободного параметра только константу связи . В следующем разделе эта простая модель будет улучшена.

2.5.3. Релятивизованная изобарная модель

Статическая Д-изобарная модель с борновскими нуклонными членами и промежуточными -состояниями является хорошим качественным ориентиром в поведении р-волновых -амплитуд при низких и промежуточных энергиях. Однако она не всегда достаточно точна в применениях к ядерным задачам. Тем не менее, внося незначительные изменения, преимущественно кинематического характера, можно достичь существенных количественных улучшений (Оset et al., 1982). Для этого удобно использовать инвариантные мандельстамовские кинематические переменные и и (см. Приложение Модификация модели состоит в следующем.

1. В релятивистском рассмотрении полюсной член для состояния массы М имеет вид в прямом канале, и, соответственно, вид — в перекрестном. Здесь

2. Полюсные члены входят в релятивистски-инвариантную амплитуду Т. Согласно Приложению при переходе к амплитуде в по сравнению с нерелятивистским случаем возникает кинематический потоковый множитель Учитывая связь (2.61) между амплитудой рассеяния и -матрицей, убеждаемся в том, что тот же множитель возникает и в

3. И последняя проблема в простой версии -изобарной модели заключается в недостаточном притяжении в канале хотя этот эффект становится заметным лишь при более высоких энергиях. В действительности же существенным источником притяжения в этом канале является обмен р-мезоном между пионом и нуклоном. С увеличением энергии становится заметным широкий -резонанс. Эффект появления такого резонанса может быть воспроизведен феноменологически введением эффективного -гамильтониана, структура которого идентична структуре -связи (2.24), так как квантовые числа и нуклона одинаковы. Константу связи можно оценить из сравнения с экспериментальной шириной распада Она получается относительно малой, по сравнению с

С учетом этих поправок статическую р-волновую -матрицу (2.57) можно представить в виде

где содержит и -канальные полюсные слагаемые, отвечающие нуклону, Хотя вычисления в этой полюсной модели можно проводить достаточно быстро, они значительно упрощаются, если заметать, что для -волн использование приближенной -канальной переменной вместо и вносит лишь очень небольшую погрешность порядка .

Рис. 2.8. (см. скан) Теоретические фазовые сдвиги в каналах полученные в релятивизованиой -изобариой модели в сравнении с экспериментальными данными (из работы Osei et al., 1982)

В этом случае даются выражениями:

-матрица этой модели дает р-волновые фазовые сдвиги, очень хорошо согласующиеся с экспериментальными данными, как показано на рис. 2.8. Основной эффект от членов состоит в правильном описании изменения знака в фазовом сдвиге влияние же на другие каналы практически ничтожно, р-волновые объемы рассеяния очень хорошо воспроизводятся при использовании следующих параметров:

приводя к результатам, показанным в табл. 2.4. В качестве еще одной иллюстрации мы вычислим ширину распада -изобары в этой модели. Вблизи резонанса элемент определяется изобарой и может быть аппроксимирован величиной

Таблица 2.4. Объемы рассеяння, вычисленные в релятивистской -изобарной модели, в сравнении с экспериментом (в единицах )

Амплитуда рассеяния равна

с

и имеет форму, подобную обычной релятивистской брейт-вигне-ровской форме с шириной распада

В резонансе, где получаем ширину МэВ в хорошем согласии с экспериментально измеренной величиной.

Табл. 2.5 суммирует пороговые р-волновые параметры, полученные в моделях изобары в подходах различной степени сложности. Повторим, что наиболее важным параметром для задач пионной ядерной физики является параметр

Таблица 2.5. Пороговые р-волновые параметры (2.38), вычисленные в различных подходах (в единицах Статическая -изобарная модель использует Релятивизованная -изобарная модель рассмотрена с параметрами (2.67) (т.е. с )

2.5.4. Перекрестные борновские слагаемые и «радиус» пиN-взаимодействия

Перекрестное нуклонное борновское слагаемое, изображенное, на рис. 2.5, является основным источником притяжения в канале Оно имеет полюс при и где

причем в

Опишем этот процесс эквивалентным обменным "потенциалом" и обсудим его радиус. Удобной переменной является переданный импульс, . Воспользуемся этой переменной, получим

где последний шаг предполагает, что нуклон должен быть нерелятивистским. Полюс приближенно превращается в Следовательно, перекрестная нуклонная борновская амплитуда дает тот же вклад, что и борновский член потенциала юкавского типа: Около порога имеем: радиус уменьшается с увеличением . Это свойство перекрестного слагаемого приводит к некоторым следствиям для потенциальных моделей -рассеяния, которые явно не включают перекрестных нуклонных борновских членов. Рассмотрим, например, сепарабельный потенциал вида

для каждой отдельной парциальной волны а. Феноменологические "формфакторы" могут быть подогнаны так, чтобы можно было воспроизвести измеренные фазовые сдвиги. Ясно, что эти формфакторы прямо не связаны с радиусом или -вершинных операторов, обсуждавшихся выше; они лишь отражают кинематику перекрестного механизма.