8.4. Теорема Зигерта

Для ядерных систем с обменными взаимодействиями и обменными токами возникает следующий вопрос: можно ли вывести матричные элементы операторов тока, имея информацию только о плотности заряда нуклонов? Для электрических мультипольных переходов в длинноволновом пределе ответ оказывается положительным: действительно, в главном порядке по явные обменные поправки отсутствуют.

Суть доказательства становится очевидной в длинноволновом пределе, когда дают вклад только электрические дипольные переходы. В этом пределе электромагнитный вектор-потенциал становится равным где — нормировка поля фотонов. Соответствующий оператор взаимодействия есть

Здесь полный ядерный ток, включающий вклад обменного тока. После интегрирования по частям это выражение принимает вид

откуда после использования уравнения непрерывности (8.50) получается соотношение

Это выражение пока что является точным в том смысле, что Я есть полный гамильтониан системы. Возьмем теперь матричный элемент этого оператора между ядерными состояниями Iа) и с энергиями, обозначенными соответственно

Это уравнение выражает тот факт, что если даже в дипольный переход вовлечены обменные токи, тем не менее соответствующий матричный элемент требует только информации о распределении заряда. Этот результат все еще является совершенно общим. До сих пор не делалось никаких специальных допущений, кроме длинноволнового предела. Оператор плотности заряда разделяется на чисто нуклонную часть

и обменную часть

Теорема Зигерта утверждает, что плотность обменного заряда исчезает в идеализированном пределе точечных статических нуклонов [8]. При этих условиях процесс обмена является мгновенным. Соответственно нет запаздывания и отсутствует плотность заряда, связанная с обменным током. Это может быть явным образом проверено для частного случая пионного обменного тока: получается как поправка на отдачу порядка где k — это импульс, переданный фотону. Подчеркнем еще раз, что "теорема" Зигерта верна только в длинноволновом пределе: существенно, что фотон "не чувствует" внутреннюю структуру нуклона и детальную динамику процесса обмена.

Теорема Зигерта может быть обобщена на любой электрический мультипольный переход. Это показывается способом, аналогичным тому, который был применен в случае электрической дипольной амплитуды. С другой стороны, эта теорема не применима к магнитным переходам. В этом случае обменный ток передающий заряд между двумя нуклонами, приводит к

дополнительной плотности магнитного момента, Поэтому предполагается, что эффекты обменных токов особенно важны в магнитных ядерных явлениях.

В заключение заметим, что "теорема” Зигерта не утверждает, что обменные эффекты в электрических переходах отсутствуют. Она говорит только, что такие переходы полностью описываются одним лишь оператором плотности заряда нуклонов. Обменные эффекты появляются на уровне статического двухнуклонного обменного потенциала, который изменяет волновые функции, используемые для оценок матричных элементов плотности заряда.