5.5. Пионная оптика: коэффициент преломления и средняя длина свободного пробега

Рассеяние пиона в однородной ядерной среде может быть описано на языке коэффициента преломления который связывает волновое число пиона к в среде со свободным волновым числом

Волновое число к можно получить, если мы знаем пионный ядерный потенциал или собственную энергию в среде как решение волнового уравнения

Собственная энергия в общем случае является функцией и волнового числа пиона к, и его энергии

Так как -рассеяние при низких и промежуточных энергиях определяется р-волновым рассеянием, отождествим собственную энергию с пионной восприимчивостью (5.22):

Поэтому коэффициент преломления дается как

Изучим влияние резонанса на коэффициент преломления, предполагая, что среда имеет малую плотность. Тогда восприимчивость дается выражением где дипольная поляризуемость связана согласно формуле (5.3) с -амплитудой, усредненной по спину и изоспину. Доминирующая -резонансная амплитуда (2.63) дает приближенное выражение для восприимчивости

где , разница масс и Ширина распада изобары дает мнимую часть восприимчивости и, следовательно, мнимую часть коэффициента преломления. Из (5.53) и (5.54) получаем

где

измеряется в единицах нормальной плотности ядерной материи . Выражение (5.55) для коэффициента преломления показывает, что резонанс будет проявляться и в ядерной среде, но его положение существенно сдвинуто вследствие зависимости элементарной амплитуды от Такой сдвиг резонанса является характерной особенностью многократного рассеяния в среде резонирующих частиц.

Переписывая (5.55) в пределе получаем выражение

Плоская волна с частотой распространяющаяся в среде в направлении описывается как

где из (5.57) получаем

Интенсивность волны уменьшается, как

где I — средняя длина свободного пробега:

Средняя длина свободного пробега имеет минимальное значение в резонансе (с учетом указанного смещения ). В этой точке

Например, при плотности это приближение приводит в резонансе к малой средней длине свободного пробега пиона Это отражает тот факт, что ядерная среда непрозрачна в области резонанса.

При более низких энергиях -взаимодействие заметно слабее, и когерентная пионная волна может проходить расстояния без затухания. Мы напомним, что при малой плотности

и и -волновые собственные энергии пропорциональны соот ветствующим амплитудам рассеяния вперед (см. (5.33) и (5.49)) В общем случае собственная пионная энергия в первом порядке по плотности выражается через амплитуду -рассеяния вперед, усредненную по спину и изоспину:

Разлагая коэффициент преломления и оставляя первый порядок по плотности, получаем

По оптической теореме , где а — полное -сечение, усредненное по нейтронам и протонам. Следовательно,

Средняя длина свободного пробега равна

Характерная зависимость средней длины свободного пробега от энергии показана на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Длина свободного пробега пиона в ядерной среде при плотности как функция кинетической энергии пиона

Он иллюстрирует глубокое изменение в характере пион-ядерного взаимодействия при увеличении энергии от порога до области -резонанса.