9.4. Мягкопионные аспекты нуклона

9.4.1. Аксиальный ток нуклона: общая структура

Обратимся теперь к более подробному рассмотрению аксиального тока нуклона. Из лоренц-инвариантности следует общий вид матричного элемента аксиального тока между состояниями свободного нуклона -импульсами соответственно):

Здесь — дираковский спинор нуклона, Три члена называются, соответственно, аксиальным вектором, индуцированным псевдоскаляром и индуцированным псевдотензором. Соответствующие формфакторы отражают структуру нуклона, которую "чувствует” пробное аксиальное поле. Детальные свойства этих формфакторов приведены в Приложении

Первый член уравнения (9.39) является простым обобщением аксиального тока (9.26) на случай конечного размера нуклона с константой аксиальной связи, определяемой как

Индуцированный псевдоскалярный член тесно связан с пионной частью (9.29) аксиального тока. Его мы будем обсуждать в разделе 9.4.2.

Основные принципы симметрии накладывают ряд ограничений на формфакторы: инвариантность по отношению к обращению времени требует, чтобы были действительными функциями зарядовая симметрия приводит к дополнительному требованию, чтобы значение было мнимым. Поэтому, если обе симметрии реализуются одновременно, то отсюда следует, что псевдотензорный член, пропорциональный , тождественно равен нулю. Эмпирическое значение совместимо с нулем (отсутствие так называемых токов второго рода).

Особенно прозрачный вид (см. Приложение матричные элементы аксиального тока (9.39) принимают в брейтовской системе (в которой передача энергии равна нулю, и . В этой системе нуклон в начальном и конечном состояниях имеет импульсы Матричные элементы аксиального тока таковы:

где — двухкомпонентные паулиевские спиноры, включающие изоспин. Во втором из уравнений мы опустили член порядка Такой вид соотношения (9.42) является достаточно точным для большинства приложений в ядерной физике при низких энергиях.

9.4.2. Индуцированный псевдоскалярный ток

В качестве иллюстрации физической сущности индуцированного псевдоскалярного формфактора полезно рассмотреть такие процессы, как, например в которых лептонный ток определенный в разделе 9.2.1, связан с аксиальным током нуклона за счет слабого взаимодействия [3]

причем матричные элементы даются уравнением (9.39). Часть плотности гамильтониана, соответствующая индуцированному псевдоскаляру , пропорциональна — импульсы входящего и выходящего лептонов. Используя уравнение Дирака для лептона, мы видим, что матричные элементы

появляются в форме псевдоскалярной связи, пропорциональной массе лептона

Здесь — это дираковские спиноры лептона, нейтрино и нуклона. Из пропорциональности величине следует, что член с псевдоскалярной связью пренебрежимо мал в процессах, включающих электроны, например, в -распаде Он более важен в слабых взаимодействиях мюона с таких как процесс -захвата в покое Эмпирическое значение определенное для этой кинематической ситуации составляет

Это число дает возможность прямо проверить величину пионного вклада в аксиальный ток (9.30), а также, как мы сейчас покажем, и проверить соотношение ЧСАТ. Для простоты будем рассматривать предельный случай точечного нуклонного источника. Напомним вид пионного аксиального поля (см. раздел 9.3.6),

Его матричные элементы между нуклонными состояниями имеют вид

С помощью уравнения для пионного поля матричный элемент может быть записан через псевдоскалярную функцию нуклонного источника

Следовательно,

Отождествление с членом индуцированного псевдоскаляра в уравнении (9.39) дает

Отметим, что полюсной пионный член приводит к быстрому изменению В случае процесса р-захвата с отсюда следует, что

что хорошо согласуется с эмпирическим значением (9.45).

Конечный размер нуклонного источника приводит к дополнительной плавной зависимости от причем заменяется на аксиальный формфактор . В области малых переданных импульсов такая зависимость от не важна.

9.4.3. s-волновое фоторождение мягких пионов

Процесс фоторождения на пороге

достаточно подробно был исследован в гл. 8. Там мы установили, что пороговая амплитуда (8.12) в длиннноволновом пределе дается теоремой Кролла—Рудермана, смысл которой сводится к тому, что на нуклоны действует следующий эффективный оператор:

Теперь мы исследуем этот оператор с точки зрения киральной симметрии и ЧСАТ СAdler and Dothan, 1966).

Рассмотрим уравнение для поля заряженных пионов в виде

где — функция псевдоскалярного изовекторного источника, а Следуя Приложению 9, -матрицу для фоторождения заряженных пионов запишем через как

Модифицируем теперь соотношение ЧСАТ , чтобы включить внешний электромагнитный вектор-потенциал Обычная минимальная градиентно-инвариантная подстановка приводит к соотношению

в котором сомножитель возникает как изоспиновый фактор. (Для нейтрального пиона соотношение ЧСАТ не видоизменяется.) Объединяя уравнение для пионного поля с модифицированным

соотношением получаем

Перейдем теперь к мягкопионному пределу Для того чтобы обеспечить правильную -волновую кинематику в с.ц.м. на пороге, переход к этому пределу будем осуществлять так: сначала мы полагаем затем устремляем до этом пределе член обращается в нуль, следовательно, уравнение (9.57) сводится к

Затем используем соотношение , где

— вектор поляризации фотона. Наконец, из уравнения (9.42) получаем, что в пределе матричный элемент аксиального тока нуклона сводится к

Индуцированный псевдоскалярный член, пропорциональный в этом пределе зануляется. Поэтому при получаем эффективный оператор

При учете соотношения Гольдбергера—Треймана

этот эффективный оператор становится тождественным члену Кролла—Рудермана (9.53). Амплитуда фоторождения -мезонов в этом пределе равна нулю. Отметим, что этот результат не зависит от массы пиона он полностью определяется аксиальными параметрами соответственно, нуклона и пиона. Явное появление аксиального тока в мягкофотонной теореме (9.60) является отражением лежащей в основе этого феномена киральной симметрии. Это — общее свойство фотопионной физики низких энергий также и для других систем, таких как, например, ядро.

9.4.4. Длины пион-нуклонного рассеяния

Обсудим -волновое пион-нуклонное рассеяние на пороге с точки зрения киральной симметрии. Феноменология длин -рассеяния в изоспиновых каналах с была

описана в разделе 2.6. Экспериментально изовекторная комбинация примерно на порядок величины больше изоскалярной:

Мы вскоре увидим, что это обстоятельство может быть понято как следствие киральной симметрии.

Удобная основа для обсуждения -волнового пион-нуклонного рассеяния на пороге представляется с-моделью, которую можно считать моделью-прототипом, описывающей систему взаимодействующих фермионов и пионов и обладающую киральной симметрией. Ее основные свойства приведены в Приложении 14. Лагранжиан -модели может быть переведен в особенно удобное нелинейное представление, где нужные низшие -амплитуды получаются уже в первом порядке теории возмущений. В нашем случае мы отождествляем фермионы с нуклонами, вспоминая, что в мягкопионном пределе их внутренняя структура остается неразрешенной. Согласно уравнению (П14.26), -модель ее нелинейной форме имеет два следующих вида эффективной пион-нуклонной связи.

1. Псевдовекторную -связь с плотностью гамильтониана взаимодействия:

2. Эффективное -взаимодействие между изовекторными токами нуклона и пиона:

Сила связи в обоих случаях полностью определяется константой распада пиона МэВ.

Вычислим, используя эти взаимодействия, пороговые амплитуды процесса в старшем порядке. При -импульсе пиона эти виды связи включают только временные компоненты токов. В этом пределе та часть амплитуды рассеяния, которая генерируется взаимодействием во втором порядке, не вносит вклада: согласно табл. П6.2, аксиальный матричный элемент пропорционален от и обращается в нуль для покоящихся нуклонов. Вследствие этого длина рассеяния полностью определяется первым порядком

Эффективный -волновой -гамильтониан, определяемый соотношением сводится к

Это взаимодействие может интерпретироваться как следствие р-мезонного обмена в статическом пределе, как это было при феноменологическом описании в разделе 2.6.3. Здесь содержится вполне определенное предсказание для изовекторного -волнового -взаимодействия. Кроме того, в киральном пределе изоскалярное взаимодействие обращается в нуль.

Далее мы поступаем так же, как в разделе 2.6. Беря матричный элемент между состояниями входящего и выходящего пионов, находим

где — изоспин пиона.

Гамильтониан соответствует следующему -волновому -псевдопотенциалу с нулевым радиусом действия

По определению в борновском приближении воспроизводит амплитуду рассеяния. Если бы масса нуклона была бесконечно большой, то длина рассеяния была бы равна

причем Конечность массы нуклона приводит к обычной дополнительной поправке на приведенную массу Так как

то окончательно получаем следующие длины рассеяния:

Поэтому

Этот результат называется соотношением Томозавы—Вайн-берга [6]. Он хорошо соответствует наблюдаемым длинам рассеяния (9.62), особенно ввиду того обстоятельства, что уравнения (9.70) являются модельно-независимыми следствиями киральной симметрии, экстраполированными от точки к физическому пионному порогу с

9.4.5. Мягкопионное рождение аксиальным током

Киральная симметрия устанавливает прямую связь между временной компонентой аксиального тока и амплитудой рождения -волновых пионов в мягкопионном пределе. Это соотношение легко получается из -модели в ее нелинейном представлении.

Отождествим фермионное поле с физическим нуклоном, который имеет Тогда аксиальный ток, получаемый из нелинейного эффективного лагранжиана в порядке имеет, согласно следующую структуру:

Заметим, что последний член действует как источник рождения -волновых пионов на нуклоне. Этот ток перехода не включался в предыдущие рассмотрения.

Рассмотрим сейчас матричный элемент временной компоненты для перехода с мягким пионом в конечном состоянии, показанного на рис. 9.2. Так как в этом пределе член обращается в нуль, то вклад дает только последний член:

Поэтому оператор аксиальной плотности, описывающий рождение мягкого пиона на нерелятивистском нуклоне, расположенном в точке равен

Это соотношение тесно связано с предсказанием Томозавы— Вайнберга для амплитуды -волнового -рассеяния; здесь также результат полностью определяется константой распада пиона Оператор (9.73) окажется полезным в целом ряде ядерных приложений.

Рис. 9.2. Рождение -волнового мягкого пиона временной компонентой аксиального тока

9.4.6. Аксиальное рождение р-волнового пиона

В предыдущем разделе мы показали, что киральная симметрия дает модельно-независимые предсказания для рождения мягких -волновых пионов. Для -волновых пионов подобное соотношение связывает соответствующую амплитуду порогового рождения с р-волновой амплитудой рассеяния через киральную симметрию и . Это соотношение, в отличие от -волнового случая, действительно зависит от структуры -вза-имодействия, однако, как мы увидим, в длинноволновом пределе такая модельная зависимость является слабой.

Для точечного статического нуклона, расположенного в точке нуклон сводится к

где последний шаг вытекает из соотношения Гольдбергера—Треймана. Беря дивергенцию от в импульсном пространстве получаем

Это соотношение является аналогом уравнения (9.28) для статического нуклона. Оно преобразовывает нуклон в статическую р-волновую -связь с характерным множителем перехода

Борновская амплитуда рождения -волновых пионов на нуклоне, проиллюстрированная на рис. 9.3, может быть затем получена по аналогии со статической борновской Г-матрицей рассеяния из раздела 2.5.1 в виде

где — передача энергии, импульс рожденного пиона.

Рис. 9.3. Прямой (а) и перекрестный (б) борновские члены для рождения р-волнового пиона аксиальным током

В дополнение к нуклонному борновскому члену имеются неборновские (НБ) вклады, связанные в основном с возбуждением изобары . В статическом пределе с использованием -изобарной модели (раздел 2.5.2) они получаются просто заменами и добавлением разности масс —нуклон в энергетический знаменатель. Отсюда следует, что кроме полюсного пионного члена, который будет обсуждаться позднее, сумма статических -волновых борновского и неборновского членов вблизи порога может быть получена из соответствующей -амплитуды путем проектирования членов, линейных по начальному импульсу

Здесь Т есть полная статическая Г-матрица р-волнового -рассеяния вблизи порога, борновские члены которой даются уравнениями (2.42) и (2.43). По-другому, используя представление (2.38) для р-волновой части амплитуды можно записать

Ранее мы нашли, что в статическом пределе . В дополнение к этому, из кроссинг-симметрии следует, что о Эти соотношения, в частности, справедливы для изобарной модели.

Пионная часть аксиального тока пион порождает пионный полюсной член (рис. 9.4). Следуя аргументам, аналогичным тем, которые привели к индуцированному псевдоскалярному току (см. раздел 9.4.2), находим выражение для этого члена

где Т — полная -нуклонная Г-матрица. Это общий результат, который применим как к так и к р-волновому рождению .

Коротко говоря, за исключением вклада от пионного полюсного члена, оператор аксиального тока для рождения -волновых пионов может быть получен из Г-матрицы р-волнового

Рис. 9.4. Вклад пионного полюса в аксиальное рождение пиона

-рассеяния заменой импульса начального пиона на Здесь не обращаются в нуль только пространственные компоненты аксиального тока.

Наконец, укажем на тесную связь между аксиальным и -фоторождением пионов (сравним с разделами 8.2.5, 8.2.6). Заметим, что плотность изовекторного магнитного момента для статического точечного нуклона,

(где выражается через магнитные моменты протона и нейтрона имеет ту же структуру, что и соответствующий оператор аксиального тока

так что, с учетом имеем

Тот же фактор пропорциональности связывает и амплитуду фоторождения р-волнового пиона с соответствующей аксиальной амплитудой (9.77), что легко увидеть для нуклонных борновских членов (рис. 9.3). Это справедливо также и для неборновских членов, в которых доминирует изобара и которые следуют тем же масштабным преобразованиям, что и -борновские члены, что подробно обсуждалось в разделе 8.2.6. Пионный полюсной член в эти рассуждения не входит, так как нет прямого перехода фотона в отдельный пион.