Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ПРЕДИСЛОВИЕОбстоятельный анализ свойств функций немыслим без выхода в комплексную область. Вот простой пример: функция
перестает сходиться при Переход к рассмотрению функций комплексного переменного необходим в целом ряде вопросов. Он столь же естествен, как переход от поля действительных чисел к алгебраически замкнутому полю комплексных чисел. И удивительно — для функций от комплексных чисел, тех самых, которые по знаменитой теореме Фробениуса дают единственно возможное расширение поля действительных чисел с сохранением алгебраических свойств, удается построить и анализ, столь же полный и стройный, как анализ функций действительного аргумента. Переход к комплексному анализу дает возможность глубже изучить элементарные функции и установить интересные связи между ними. Так тригонометрические функции оказываются простыми комбинациями показательных, например,
Вскрываются такие неожиданные и замечательные соотношения между действительными и «мнимыми» величинами, как скажем
В действительном анализе стройная теория развивается лишь для однозначных функций, а многозначные часто доставляют много неприятностей. В комплексном анализе удается выяснить природу многозначности и построить безупречную теорию многозначных функций. Комплексный анализ дает эффективные методы вычисления интегралов и получения асимптотических оценок, способы исследования решений дифференциальных уравнений и т.д. — перечень задач, которые решаются средствами комплексного анализа, можно продолжать довольно долго. К этому надо добавить, что функции комплексного переменного описывают плоские векторные поля, причем в комплексном анализе особо выделяются функции, которым соответствуют поля, наиболее интересные для приложений — одновременно потенциальные и соленоидальные. Поэтому комплексный анализ находит многочисленные применения в самых разных областях. Одной из отличительных и привлекательных черт комплексного анализа является его подлинная комплексность. В нем сочетаются аналитические и геометрические, вполне классические и самые новые методы. Наряду с очень конкретными и прикладными в нем решаются весьма общие и абстрактные задачи. В комплексном анализе встречаются и разные разделы математики, и разные прикладные науки. Его понятия служат основной моделью, источником и отправным пунктом многих исследований в функциональном анализе, алгебре, топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии, уравнениях с частными производными и других разделах математики. Начальные идеи комплексного анализа возникли во второй половине 18-го века, и связаны они прежде всего с именем Леонарда Эйлера. Основной массив теории был создан в 19-м веке, главным образом трудами Огюстена Коши, Бернарда Римана и Карла Вейерштрасса. В наши дни более классическая часть комплексного анализа — теория функций одного комплексного переменного — приобрела уже вполне совершенный вид. Однако и здесь постоянно возникают нерешенные проблемы как в связи с новыми постановками математических задач, так и в связи с приложениями. В более молодой части — теории функций нескольких комплексных переменных — имеется еще довольно много белых пятен. Но эта область, особенно богатая связями со многими разделами современной математики, все больше и больше привлекает к себе внимание. По-видимому, наступило время, когда изучающие комплексный анализ должны знакомиться с основами теории функций не только одного, но и нескольких комплексных переменных. Эти две части, однако, наряду с общими (сравнительно элементарными) свойствами имеют ряд свойств, принципиально отличающих их друг от друга. Поэтому, по крайней мере на сегодняшнем уровне развития науки, их лучше изучать последовательно, а не параллельно. В Московском университете эта цель достигается введением наряду с обязательным курсом так называемого основного спецкурса, который должны прослушать студенты, специализирующиеся в области теории функций. В литературе имеется много превосходных курсов теории функций одного комплексного переменного, в последние десятилетия появился и ряд руководств по теории функций нескольких комплексных переменных. Однако единого изложения двух частей комплексного анализа еще нет, и эта книга является первым опытом такого изложения. Она возникла из лекций читанных автором в Московском университете, причем первая часть относится к обязательному курсу, а вторая — к основному спецкурсу. Книга задумана так, что многие ведущие идеи второй части сначала появляются в первой части, где они иллюстрируются на более простом материале функций одного переменного. Каждая глава сопровождается некоторым количеством задач. Среди них нет упражнений, призванных закрепить навыки использования методов комплексного анализа, поэтому их набор нисколько не заменяет задачника. Имеются задачи двух видов — сравнительно нетрудные, иллюстрирующие изложенный в книге материал, и задачи, в которых формулируются не вошедшие в книгу теоремы; последние иногда снабжаются литературными указаниями. Резкого разграничения между этими двумя видами задач умышленно не делается. Идею написать эту книгу мне подал А. О. Гельфонд, которому, однако, не довелось увидеть ее готовой. А. А. Гончар просмотрел рукопись и сделал много конкретных замечаний. Ряд полезных советов дали мне В. С. Владимиров, Б. Я. Левин и А. И. Маркушевич, В. А. Зорич помог в подборе задач. Этим моим коллегам я весьма признателен. Особенно многим я обязан редактору книги Е. М. Чирке, который внимательно прочитал рукопись и помог устранить ряд недочетов. Ему принадлежит также изложение п. 39 второй части и подбор большинства задач.
|
1 |
Оглавление
|