ПРЕДИСЛОВИЕ

Обстоятельный анализ свойств функций немыслим без выхода в комплексную область. Вот простой пример: функция одинаково хороша (бесконечно дифференцируема) во всех точках числовой оси, а ее ряд Тейлора

перестает сходиться при Причину этого нельзя понять, оставаясь в действительной области: ведь точки разделяющие множества сходимости и расходимости ряда, ничем не примечательны для нашей функции. Но выход в комплексную область сразу разъясняет явление: на окружности лежат точки в которых функция обращается в бесконечность, из-за них ряд и перестает сходиться.

Переход к рассмотрению функций комплексного переменного необходим в целом ряде вопросов. Он столь же естествен, как переход от поля действительных чисел к алгебраически замкнутому полю комплексных чисел. И удивительно — для функций от комплексных чисел, тех самых, которые по знаменитой теореме Фробениуса дают единственно возможное расширение поля действительных чисел с сохранением алгебраических свойств, удается построить и анализ, столь же полный и стройный, как анализ функций действительного аргумента.

Переход к комплексному анализу дает возможность глубже изучить элементарные функции и установить интересные связи между ними. Так тригонометрические функции оказываются простыми комбинациями показательных, например,

Вскрываются такие неожиданные и замечательные соотношения между действительными и «мнимыми» величинами, как скажем

В действительном анализе стройная теория развивается лишь для однозначных функций, а многозначные часто доставляют много неприятностей. В комплексном анализе удается выяснить природу многозначности и построить безупречную теорию многозначных функций.

Комплексный анализ дает эффективные методы вычисления интегралов и получения асимптотических оценок, способы исследования решений дифференциальных уравнений и т.д. — перечень задач, которые решаются средствами комплексного анализа, можно продолжать довольно долго. К этому надо добавить, что функции комплексного переменного описывают плоские векторные поля, причем в комплексном анализе особо выделяются функции, которым соответствуют поля, наиболее интересные для приложений — одновременно потенциальные и соленоидальные. Поэтому комплексный анализ находит многочисленные применения в самых разных областях.

Одной из отличительных и привлекательных черт комплексного анализа является его подлинная комплексность. В нем сочетаются аналитические и геометрические, вполне классические и самые новые методы. Наряду с очень конкретными и прикладными в нем решаются весьма общие и абстрактные задачи. В комплексном анализе встречаются и разные разделы математики, и разные прикладные науки. Его понятия служат основной моделью, источником и отправным пунктом многих исследований в функциональном анализе, алгебре, топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии, уравнениях с частными производными и других разделах математики.

Начальные идеи комплексного анализа возникли во второй половине 18-го века, и связаны они прежде всего с именем Леонарда Эйлера. Основной массив теории был создан в 19-м веке, главным образом трудами Огюстена Коши, Бернарда Римана и Карла Вейерштрасса. В наши дни более классическая часть комплексного анализа — теория функций одного

комплексного переменного — приобрела уже вполне совершенный вид. Однако и здесь постоянно возникают нерешенные проблемы как в связи с новыми постановками математических задач, так и в связи с приложениями. В более молодой части — теории функций нескольких комплексных переменных — имеется еще довольно много белых пятен. Но эта область, особенно богатая связями со многими разделами современной математики, все больше и больше привлекает к себе внимание.

По-видимому, наступило время, когда изучающие комплексный анализ должны знакомиться с основами теории функций не только одного, но и нескольких комплексных переменных. Эти две части, однако, наряду с общими (сравнительно элементарными) свойствами имеют ряд свойств, принципиально отличающих их друг от друга. Поэтому, по крайней мере на сегодняшнем уровне развития науки, их лучше изучать последовательно, а не параллельно. В Московском университете эта цель достигается введением наряду с обязательным курсом так называемого основного спецкурса, который должны прослушать студенты, специализирующиеся в области теории функций.

В литературе имеется много превосходных курсов теории функций одного комплексного переменного, в последние десятилетия появился и ряд руководств по теории функций нескольких комплексных переменных. Однако единого изложения двух частей комплексного анализа еще нет, и эта книга является первым опытом такого изложения. Она возникла из лекций читанных автором в Московском университете, причем первая часть относится к обязательному курсу, а вторая — к основному спецкурсу. Книга задумана так, что многие ведущие идеи второй части сначала появляются в первой части, где они иллюстрируются на более простом материале функций одного переменного.

Каждая глава сопровождается некоторым количеством задач. Среди них нет упражнений, призванных закрепить навыки

использования методов комплексного анализа, поэтому их набор нисколько не заменяет задачника. Имеются задачи двух видов — сравнительно нетрудные, иллюстрирующие изложенный в книге материал, и задачи, в которых формулируются не вошедшие в книгу теоремы; последние иногда снабжаются литературными указаниями. Резкого разграничения между этими двумя видами задач умышленно не делается.

Идею написать эту книгу мне подал А. О. Гельфонд, которому, однако, не довелось увидеть ее готовой. А. А. Гончар просмотрел рукопись и сделал много конкретных замечаний. Ряд полезных советов дали мне В. С. Владимиров, Б. Я. Левин и А. И. Маркушевич, В. А. Зорич помог в подборе задач. Этим моим коллегам я весьма признателен. Особенно многим я обязан редактору книги Е. М. Чирке, который внимательно прочитал рукопись и помог устранить ряд недочетов. Ему принадлежит также изложение п. 39 второй части и подбор большинства задач.