15. Теорема Коши — Пуанкаре.

Эта теорема является распространением на многомерный случай основной теоремы Коши.

Теорема 1. Пусть — голоморфная форма, степени на аналитическом многообразии комплексной размерности тогда для любой -мерной цепи с гладкой границей

В локальных координатах голоморфная форма со имеет вид

где Она, очевидно, замкнута, ибо в силу голоморфности дифференциал выражается лишь через дифференциалы и по свойствам внешних произведений Отсюда следует, что на всей 0, а так как цикл да гомологичен нулю, то остается воспользоваться следствием 1) из формулы Стокса

Особенно употребителен следующий частный случай теоремы 1:

Теорема Коши — Пуанкаре. Если функция голоморфна в области то для любой -мерной поверхности с гладкой границей

где для краткости положено

Отметим принципиальное отличие пространственного случая от плоского, относящееся к этой теореме: при области имеют одинаковую размерность, а при размерность ниже размерности

Рис. 93.

Укажем еще более частный случай теоремы. Пусть поликруговая область плоские односвязные области с гладкими границами компактно принадлежащая Остов этой области является -мерным циклом, гомологичным нулю, ибо он является границей -мерных замкнутых областей

Поэтому для любой такой области интеграл по ее остову

(ср. с интегральной формулой Коши для поликруговых областей).

Теперь мы приведем пространственный аналог теоремы Морера, обратной к теореме Коши. В плоском случае для утверждения о голоморфности функции в области достаточно требовать равенства нулю интеграла по границам областей специального вида (треугольников но на функцию надо наложить дополнительное условие непрерывности (см. п. 20 ч. I). Аналогично обстоит дело и в пространственном случае. Роль треугольников здесь играют -мерные «призмы» которые являются произведением треугольника лежащего в плоскости на произведение прямолинейных отрезков лежащих в остальных плоскостях

(см. рис. 93, где выделена плоскость а пространство остальных переменных изображено схематически).

Теорема 2. Если функция непрерывна в области и для любой призмы вида (5), компактно принадлежащей

Достаточно доказать голоморфность в окрестности произвольной точки Фиксируем а и рассмотрим функцию

она определена и непрерывна в некоторой окрестности точки а. Для любого ее можно представить в виде

где интеграл от по (произведению отрезков Функция очевидно, непрерывна по в окрестности точки и по условию (6) для любого треугольника

В самом деле, этот интеграл лишь знаком может отличаться от интеграла

где (мы воспользовались тем, что на части , отличной от , т. е. на части совокупности «оснований» призмы см. рис. 93, координата следовательно, и интеграл от по этой части границы исчезает).

По теореме Мореры для функций одного переменного отсюда вытекает, что F голоморфна по переменному Так как рассуждение применимо для любого то F голоморфна по каждому переменному в некоторой окрестности точки а. По теореме Хартогса F голоморфна в этой окрестности, а значит, там голоморфна и функция