44. Локальное обращение голоморфных функций.

Задача ставится так. Пусть в некоторой окрестности точки а заданы голоморфных функций и пусть Требуется найти функции для которых которые в какой-либо окрестности точки удовлетворяют системе уравнений

Систему (1) мы будем записывать в виде

где векторная функция.

Если якобиан системы отличен от нуля в точке а (а значит, и в некоторой окрестности этой точки), то по теореме существования неявных функций система (2) допускает в окрестности точки голоморфное решение Это означает, что при отображение является гомеоморфным в некоторой окрестности точки а.

Покажем, что для голоморфных отображений верно и обратное утверждение. Пусть векторная функция осуществляет голоморфный гомеоморфизм окрестности точки на окрестность точки Тогда якобиан этого отображения не может быть тождественно равным нулю, ибо в этом случае оказался бы тождественно равным нулю и якобиан (мы положили а тогда по теореме из действительного анализа функции были бы зависимыми и не могло бы быть гомеоморфизмам.

Таким образом, множество не выше чем -мерно, и в силу гомеоморфизма таким же является его образ Рассмотрим обратное к отображение Оно непрерывно всюду в и по доказанному выше голоморфно всюду в (в соответствующих точках якобиан . Так как аналитическое множество, то отображение голоморфно продолжается в полную окрестность (см. п. 19).

Теперь мы знаем, что всюду в справедливо тождество где голоморфные функции. По правилам

дифференцирования отсюда получается тождество

справедливое для всех точек и соответствующих точек Из него и следует, что

Таким образом, доказана

Теорема Для локальной гомеоморфности голоморфного отображения области необходимо и достаточно, чтобы якобиан

Перейдем теперь к изучению задачи локального обращения в случае, когда якобиан отображения равен нулю в точке а, однако а является изолированной точкой множества Для простоты мы проведем исследование для причем без ограничения общности примем Итак, мы рассматриваем систему двух уравнений

и хотим найти в окрестности точки ее решения такие, что

Из нашего предположения следует, что не равны тождественно нулю. Поэтому (сделав, если надо, дополнительное линейное преобразование пространства мы можем считать, что . В силу подготовительной теоремы Вейерштрасса систему (4) можно заменить равносильной ей системой

где голоморфные функции от обращающиеся в нуль в начале. Исключение из (5) приводит к уравнению

где результант многочленов голоморфная функция.

Если бы было то уравнения (5) при имели бы общее решение но тогда была предельной точкой множества вопреки

предположению. Поэтому к можно снова применить подготовительную теорему и заменить (6) равносильным ему уравнением

где голоморфные функции в некоторой окрестности V точки Таким образом, отыскание функции свелось к решению алгебраического уравнения с голоморфными коэффициентами.

Рассмотрим дискриминантное множество где А — результант многочлена и его производной по (см. п. 43). Это множество аналитично, следовательно, оно самое большее двумерно и не разбивает окрестности . В точках уравнение (7) имеет различных голоморфных корней в точках же А некоторые из этих корней совпадают и теряют голоморфность. Множество А, следовательно, является множеством ветвления аналитической функции

Аналогично исследуется зависимость Заметим, что при известной функции функцию можно получить, подставляя в каждое из уравнений (5) и находя общий наибольший делитель многочленов по полученных из левых частей (5) после этой подстановки: значение соответствующее значению будет корнем многочлена На этом пути можно доказать, что для каждому значению (возможно, после некоторой линейной замены переменных) соответствует точно одно значение Таким образом, оказывается не более чем -значной аналитической функцией (уменьшение числа значений происходит, когда разным соответствуют одинаковые

В рассматриваемом случае точка очевидно, принадлежит дискриминантному множеству А. Вообще, если один из прообразов этой точки при отображении (4), то якобиан отображения ибо в противном случае по теореме 1 это отображение было бы взаимно однозначным в точке не могла бы принадлежать . Таким образом, множество А принадлежит образу множества при рассматриваемом отображении.

Пример. Якобиан отображения

равный обращается в нуль на аналитических плоскостях Исключая мы придем к биквадратному уравнению Обращение (8) имеет вид

так что функции четырехзначны и их ветви голоморфны вне дискриминантного множества Это множество является образом множества и состоит из двух аналитических плоскостей, на каждой из которых сливаются по два значения в точке пересечения зтих плоскостей сливаются все четыре значения

Ситуация, аналогичная описанной, справедлива и при любом имеет место

Теорема (Осгуд) Пусть система функций, голоморфных в некоторой окрестности точки и а является изолированной точкой множества где Тогда (возможно, после некоторой линейной замены переменных) обращение этой системы можно получить следующим образом: находится из уравнения

с голоморфными в точке коэффициентами а остальные функции однозначно и голоморфно выражаются через

Заметим, что здесь в том и только том случае, когда Если же то непременно будет многозначной, точнее -значной, аналитической функцией, а остальные не более чем -значными аналитическими функциями (некоторые из них могут оказаться и однозначными). Множеством ветвления функции будет служить образ множества а множества ветвления остальных принадлежат А.

Таким образом, при отображении окрестность точки покрывается образом достаточно малой окрестности точки а точно раз. Учитывая геометрический смысл введенного в п. 42 локального индекса, можно утверждать, что в условиях теоремы Осгуда локальный индекс отображения в точке а равен степени многочлена (9).

Заметим, однако, что при локальный индекс, вообще говоря, не выражается через порядки младших членов тейлеровских разложений в рассматриваемой точке. Так для отображения

локальный индекс в точке равен произведению младших членов разложений и Для отображения которое отличается от (10) невырожденным линейным преобразованием и, следовательно, имеет тот же индекс, произведение таких порядков равно 4.

Подчеркнем, что степень в (9) совпадает с локальным индексом лишь при таком выборе переменных, что функции однозначно выражаются через

Следствие. Если голоморфное отображение открытого множества в и каждая является изолированной точкой множества прообразов точки то — открытое множество.

Когда условие теоремы Осгуда не выполняется, т. е. а является предельной точкой множества прообразов но якобиан отображения не равен тождественно нулю, то существует содержащее точку а аналитическое множество комплексной размерности которое преобразует в точку . В этом случае, вообще говоря, является точкой неопределенности для хотя бы одной компоненты обращения рассматриваемой системы.

Пример. Рассмотрим систему

якобиан которой обращается в нуль на трех (комплексно) двумерных аналитических плоскостях . Прообразом точки является совокупность трех (комплексно) одномерных аналитических плоскостей Обращение (11)

имеет голоморфные ветви вне плоскостей ; точка является точкой неопределенности для всех трех компонент