11. Некоторые рациональные функции.

1. Степенная функция

где натуральное число, голоморфна во всей плоскости С.

Ее производная при отлична от нуля всюду при , следовательно, отображение (I) при конформно в каждой точке Записывая функцию (1) в полярных координатах

мы видим, что осуществляемое нашей функцией отображение увеличивает в раз углы с вершиной в точке и поэтому при не конформно в этой точке.

Из (2) видно также, что любые две точки с одинаковыми модулями и с аргументами, отличающимися на целое кратное

(и только такие точки), при отображении (1) «склеиваются», т. е. переходят в одну точку Следовательно, при это отображение неоднолистно в С. Для однолистности его в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы не содержала никаких двух различных точек связанных соотношениями

Примером области, в которой отображение (1) однолистно, может служить сектор

Этот сектор гомеоморфно преобразуется в область

в плоскость с выброшенной положительной полуосью. На рис. 16 показано соответствие сеток полярных координат при этом отображении.

Рис. 16.

Если мы возьмем в плоскости по-прежнему полярные координаты а в плоскости декартовы то отображение (1) перепишется в виде следующих двух соотношений:

На рис. 17 показан прообраз сетки декартовых координат плоскости при этом отображении.

Рис. 17.

Он составлен из кривых а полярными уравнениями (пунктирные линии)

(сплошные). При это обычные гиперболы (пунктир) и (сплошное линии). В силу конформности отображения сетка ортогональна, т. е. пунктирные линии ортогональны сплошным.

2. Функция Жуковского. Так называют рациональную функцию

голоморфную в области Ее производная

отлична от нуля всюду в этой области, кроме точек , откуда видно, что отображение (5) конформно в каждой конечной точке . Точке соответствует и конформность в этой точке согласно определению угла в бесконечности, принятому в следует из того, что производная

отлична от нуля при Согласно тому же определению конформность отображения в точке сводится к конформности в точке но в случае функции Жуковского и по только что доказанному отображение (5) конформно в точке Ниже мы увидим, что в остальных исключительных точках отображение (5) не конформно.

Выясним условия однолистности нашей функции в какой-либо области Пусть она переводит в одну точку, тогда

и при мы получаем Таким образом, для однолистности функции Жуковского в какой-либо области необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никакой пары точек и , для которых

Примером области, удовлетворяющей условию однолистности, является внешность единичного круга наглядно представить отображение (5), положим и запишем (5) в виде

Из этих соотношений видно, что окружности функция Жуковского преобразует в эллипсы с полуосями с фокусами в точках (ибо для любого ).

Рис. 18

Эти эллипсы изображены на рис. 18 сплошными линиями; при имеем и эллипсы стягиваются к отрезку при больших разность мала и они мало отличаются от окружностей. Лучи преобразуются в части гипербол с теми же фокусами (пунктирные линии на рис. 18); в силу конформности семейство этих гипербол ортогонально описанному выше семейству эллипсов.

Из сказанного видно, что функция Жуковского осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение внешности единичного круга (включая бесконечную точку) на внешность отрезка действительной оси.

В точках отображение (5) не конформно. В этом лучше всего убедиться, представив функцию Жуковского в виде

(тождественность этой формулы формуле (5) проверяется простой выкладкой). Отображение (5), следовательно, представляет собой композицию отображений

(последнее отображение обратно к отображению

Первое и третье из отображений (9) дробно-линейны и по доказанному в п. 8 конформны всюду в отображение удваивает углы в точках которым соответствуют точки Поэтому отображение Жуковского удваивает углы в этих точках.

Рис. 19.

Используя разложение (9), читатель убедится в том, что функция Жуковского осуществляет однолистное конформное отображение внешности окружности изображенной на рис. 19 (она проходит через точки ±1 и составляет в них угол а с действительной осью), на внешность дуги окружности (с концами в точках ±1, составляющей в точке угол с действительной осью) .

Можно убедиться также в том, что окружности, касающиеся извне в одной из точек ±1, при этом отображении переходят в замкнутые кривые с характерным острием, напоминающие профиль крыла самолета (см. рис. 19). Это замечание позволило Н. Е. Жуковскому создать первый метод аэродинамического расчета крыльев.