ГЛАВА V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Здесь мы рассмотрим две не связанные между собой темы, которые, с одной стороны, завершают набор основных сведений из теории функций одного комплексного переменного и, с другой стороны, необходимы для теории функций нескольких переменных.

§ 13. Разложения целых и мероморфных функций

42. Теорема Миттаг-Леффлера.

В п. 24 было доказано, что любая рациональная функция разлагается на сумму некоторого многочлена (своей главной части в бесконечности) и главных частей в конечных особых точках. Здесь мы хотим получить аналогичное разложение для произвольных мероморфных функций. Через мы будем обозначать полюсы мероморфной функции а через

главную часть ее лорановского разложения в полюсе

Если мероморфная функция имеет лишь конечное число полюсов, то, вычитая из сумму ее главных частей в этих полюсах, мы получим, очевидно, целую функцию . В этом случае поставленная задача решается тривиально: функция разлагается в сумму целой функции и своих главных частей. Таким образом, представляет интерес лишь случай бесконечного числа полюсов. Здесь вместо конечной суммы мы имеем ряд из главных частей, и возникает вопрос о его сходимости. Этот ряд, вообще говоря, расходится, и для получения сходящегося ряда к главным частям приходится вводить поправки, которые, как мы увидим, можно брать в виде многочленов — отрезков тейлоровских разложений главных частей.

Переходя к точным формулировкам и доказательствам, прежде всего условимся, что понимать под сходимостью ряда из мероморфных функций, которые могут обращаться в бесконечность в некоторых точках.

Определение. Ряд из мероморфных функций называется сходящимся (соотв. равномерно сходящимся) на множестве если лишь конечное число его членов имеет полюсы на и после удаления этих членов ряд сходится (соотв. равномерно сходится) на

Задачу о разложении решает следующая теорема существования мероморфной функции с заданными полюсами и главными частями:

Теорема 1 (Миттаг-Леффлер). Каковы бы ни были последовательность точек и последовательность функций вида (1), существует мероморфная функция которая имеет полюсы во всех точках и только этих точках, причем главная часть в каждом полюсе совпадает с

Без ограничения общности можно считать, что (ибо вместо можно рассматривать функцию где главная часть в точке и что точки занумерованы в порядке неубывающих модулей: Фиксируем число и обозначим Так как функция голоморфна в круге компактно принадлежит этому кругу, то можно в равномерно приблизить полиномом Тейлора

степень мы выберем так, чтобы для всех было

При таком выборе ряд

сходится равномерно на любом компакте К из С в смысле определения 1. В самом деле, для любого К найдется номер такой, что Для всех члены ряда

голоморфны на К, и в силу (3) этот ряд мажорируется на К сходящейся геометрической прогрессией. Следовательно, ряд (4) сходится на К равномерно и его сумма по теореме Вейерштрасса голоморфна в

Функция отличается от на рациональную функцию с полюсами и главными частями следовательно, имеет в К заданные полюсы и главные части. Так как К — произвольный компакт, то мероморфна и имеет в С заданные полюсы и главные части .

Следствие. Любую мероморфную функцию можно разложить в ряд

равномерно сходящийся на любом компакте, где целая функция, главные части некоторые полиномы.

Занумеруем полюсы в порядке неубывающих модулей (точку можно считать правильной, если вместо рассмотреть функцию где главная часть в этой точке) и по теореме 1 построим ряд

равномерно сходящийся на любом компакте. Функция очевидно, целая

Примеры. 1. Мероморфная функция имеет полюсы второго порядка в точках причем ее главная часть в полюсе равна Ряд из главных частей

сходится равномерно на любом компакте (в смысле определения 1), ибо в любом круге мажорируется сходящимся рядом. Поэтому поправочные многочлены в разложении (5) не нужны, и остается найти целую функцию

Эта функция периодическая с периодом поэтому ее достаточно изучить

в полосе . В этой полосе для следовательно,

стремится к 0 при в этой полосе. Так как у при этом также стремится к нулю, то и стремится к нулю при Поэтому ограничена в полосе, а в силу периодичности и в по теореме Лиувилля постоянна и, следовательно, равна нулю. Таким образом, разложение Миттаг-Леффлера имеет вид

2. Мероморфная функция имеет простые полюсы в тех же точках с главными частями Ряд из главных частей расходится, но легко видеть, что можно взять поправочные многочлены нулевой степени: ряд

(штрих у суммы означает, что при суммировании выпускается нндекс сходится равномерно на каждом компакте. Остается найти целую функцию в разложении (5), что можно сделать так же, как в предыдущем примере; мы убедимся, что

Проще, однако, проинтегрировать по любому пути, соединяющему точки и не проходящему через полюсы Пользуясь формулой (6), мы получим нужное разложение Миттаг-Леффлера

(почленное интегрирование (6) законно в силу равномерной сходимости).

Теорема Миттаг-Леффлера и ее следствие являются теоремами существования и не дают информации о том, как фактически выбирать многочлены и целую функцию к. Для практических целей полезнее не столь общая, но более конструктивная теорема, при доказательстве которой используется метод Коши улучшения сходимости.

Теорема 2. Если на некоторой системе окружностей мероморфная функция растет не быстрее, чем т. е. существует постоянная А такая, что для всех

то в разложении (5) в качестве можно принять многочлены степени не выше

Фиксируем любую точку отличную от полюсов и предположим, что содержит внутри. Функция внутри голоморфна всюду, кроме точки и полюсов функции Вычет ее в точке равен сумму вычетов в полюсах лежащих внутри обозначим через

Для подсчета заметим, что в каждом таком полюсе вычет функции F совпадает с вычетом функции , где означает сумму всех главных частей в полюсах, лежащих внутри Функция рациональна и кроме упомянутых полюсов она имеет полюс в точке с вычетом , а ее вычет в бесконечности равен нулю, ибо имеет там нуль не ниже второго порядка По теореме о полной сумме вычетов сумма всех вычетов функции т. е. откуда

Применяя к F теорему Коши о вычетах, найдем

Если бы интеграл в левой части стремился к нулю при то сходился бы ряд из главных частей и поправки на сходимость были бы ненужными. Однако у нас этого, вообще говоря, нет, и для получения стремящегося к нулю интеграла нужно под знаком интеграла вычесть из начальные члены ее лорановского разложения в бесконечности, т. е. сумму членов вида Это удобно сделать так: положим в равенстве (9) и тех равенствах, которые получаются из него последовательным дифференцированием по (мы считаем, что правильная точка получим

Умножим это равенство на и затем вычтем сумму полученных равенств из (9):

где

Наша цель достигнута; в самом деле, оценим левую часть (10), т. е. величину

(мы просуммировали геометрическую прогрессию под знаком интеграла). Пользуясь неравенствами (8), получаем оценку

из которой видно, что при и притом равномерно на любом компакте

Пример. Нетрудно видеть, что ограничен на окружностях поэтому к функции применима теорема 2, в которой можно положить Мы снова получаем разложение (7).

В заключение приведем обобщение теоремы Миттаг-Леффлера на случай произвольной области Без ограничения общности будем считать, что содержит бесконечную точку (этого можно достичь дробно-линейным преобразованием) и что т. е. что (в этом случае теорема тривиальна).

Теорема 3. Каковы бы ни были последовательность точек не имеющая предельных точек в и последовательность функций вида (1), существует мероморфная в функция которая имеет полюсы во всех точках причем главная часть в каждом полюсе совпадает с

В случае конечного числа точек теорема тривиальна, поэтому последовательность кужчо считать бесконечной. Для каждой найдем точку ближайшую к (такая точка существует, ибо непрерывная функция

достигает минимума на компакте очевидно, при Для всех величину можно разложить в сходящуюся геометрическую прогрессию

откуда видно, что при функцию а значит, и можно с любой степенью точности приблизить многочленом от переменного Мы подберем многочлены так, чтобы при выполнялись неравенства

(здесь рациональные функции, голоморфные в

При сделанном выборе ряд

сходится равномерно (в смысле определения 1) на каждом . В самом деле, для любого такого К найдется число такое, что для всех и всех Ряд из голоморфных на К функций

мажорируется на К сходящейся геометрической прогрессией, и поэтому функция голоморфна на Функция отличается от на рациональную функцию которая в имеет лишь полюсы с главными частями Так как К — произвольный компакт из то удовлетворяет условиям теоремы

Замечание. Пусть дана произвольная последовательность точек и соответствующих функций вида (1) (если некоторое то соответствующая функция является многочленом относительно без свободного члена). Пусть множество всех предельных точек последовательности

(это множество, как легко видеть, замкнуто). Если в доказательстве теоремы 3 эыбирать в качестве точку ближайшую к то ряд (12) определит функцию мероморфную в дополнении к (которое является открытым множеством и, следовательно, состоит из не более чем счетного множества областей).