ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Эта глава вводит читателя в геометрическую теорию функций комплексного переменного. В ней будут рассмотрены основные вопросы теории конформных отображений, а также так называемые геометрические принципы, которые касаются лишь самых общих, топологических свойств голоморфных функций.

§ 10. Геометрические принципы

33. Принцип аргумента.

Пусть функция голоморфна в проколотой окрестности точки Мы назовем логарифмическим вычетом функции в точке а вычет логарифмической производной

этой функции в точке а.

Кроме изолированных особых точек (однозначного характера) функция может иметь отличный от нуля логарифмический вычет в своих нулях. Пусть нуль порядка функции голоморфной в точке а; тогда в некоторой окрестности имеем , где голоморфна в и не равна там нулю. Поэтому в

где второй множитель голоморфен в следовательно, разлагается в в ряд Тейлора, причем свободный член этого разложения равен (значению множителя при Таким образом, в имеем

откуда видно, что в нуле порядка логарифмическая произвольная голоморфной функции имеет полюс первого порядка с вычетом логарифмический вычет в нуле равен порядку этого нуля.

Если — полюс функции порядка то у имеет в этой точке нуль порядка а так как

то с учетом (2) получим, что в полюсе порядка логарифмическая производная функции имеет полюс первого порядка с вычетом логарифмический вычет в полюсе равен порядку этого полюса с обратным знаком.

Сделанные замечания позволяют дать метод подсчета числа нулей и полюсов мероморфных функций. При подсчете мы примем следующее соглашение, которого будем всегда придерживаться и в дальнейшем: каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок. Справедлива

Теорема Пусть функция мероморфна в области область, граница которой является непрерывной кривой; пусть еще не содержит ни нулей, ни полюсов . В этих условиях пусть соответственно обозначают общее число нулей и полюсов в области тогда

где ориентированная граница.

Так как то имеет в лишь конечное число нулей и конечное число полюсов а так как не содержит ни нулей, ни полюсов, то голоморфна в окрестности Применяя к этой функции теорему Коши о вычетах, найдем

Но по сделанному выше замечанию

где соответственно порядок нуля и полюса подставляя (5) в (4) и учитывая принятое соглашение подсчета нулей и полюсов (по которому получим (3)

Доказанной теореме можно придать геометрическую формулировку. Представим путем и обозначим через первообразную функции вдоль этого пути; по формуле Ньютона — Лейбница будем иметь

Но, очевидно, , где обозначает любую ветвь логарифма, непрерывно меняющуюся вдоль пути Так как и функция однозначна, то для выделения этой ветви достаточно выделить ветвь непрерывно меняющуюся вдоль Приращение вдоль замкнутого, пути равно нулю, поэтому

Обозначая множитель при в правой части — приращение выделенной ветви аргумента — через мы перепишем (6) в виде

Таким образом, теореме 1 можно придать следующий вид:

Теорема 2 (принцип аргумента). В условиях теоремы 1 разность между числом нулей и числом полюсов функции в области равна деленному на приращению аргумента этой функции при ориентированной границы области:

Очевидно, правая часть (7) геометрически представляет собой полное число оборотов вокруг точки которые сделает вектор когда обходит путь Обозначим через образ пути при отображении т. е. путь тогда это число будет равно числу оборотов вектора при обходе пути (рис. 63). Последнее называют индексом пути относительно точки и обозначают символом Теперь принцип аргумента можно прочитать так:

Замечание 1. Вместо нулей функции можно рассматривать ее -точки, т. е. корни уравнения для этога

достаточно заменить в наших рассуждениях функцией Если не содержит -точек (и по-прежнему полюсов) функции , то

где общее число -точек в области

Рис. 63.

Переходя к плоскости и вводя понятие индекса пути относительно точки а, можно переписать (9) в виде

Замечание 2. Правая часть формулы (7) — приращение аргумента функции вдоль пути — имеет смысл для произвольных непрерывных функций не равных нулю вдоль этого пути (хотя ее первоначальное определение с интегралом и связано с производной т. е. требует голоморфности функции). Эта величина, равная индексу образа пути имеет топологический характер: она инвариантна относительно топологических преобразований плоскостей Оказывается, можно ввести и инвариантные относительно топологических преобразований определения порядков нулей и полюсов (не связанные с производными или разложениями в ряды). Тогда и принцип аргумента примет топологический характер: он будет справедлив для всех функций, топологически эквивалентных мероморфным (т. е. получающихся из последних топологическими преобразованиями переменных). Читатели, интересующиеся этими вопросами, могут найти их подробное изложение в книге С. Стоилова «Лекции по топологической теории аналитических функций», М., 1964.

Приведем пример применения принципа аргумента:

Теорема 3 (Руше). Пусть функции голоморфны, в замкнутой области с непрерывной границей и пусть

Тогда функции имеют в одинаковое число нулей.

Из (11) видно, что не равны нулю на поэтому, к ним применим принцип аргумента. Так как на

то следовательно, мы имеем при надлежащем выборе значений аргументов

Но так как на то при любом изменении точка не выходит из круга Поэтому вектор не может повернуться вокруг точки и второе слагаемое в (12) равно нулю. Таким образом,

откуда по принципу аргумента получаем заключение теоремы Теорема Руше полезна при подсчете числа нулей голоморфных функций. В частности, из нее совсем просто получается основное свойство многочленов:

Теорема 4. Любой многочлен степени имеет в С ровно корней.

Так как имеет полюс в бесконечности, то все его корни лежат в некотором круге Пусть где увеличивая в случае надобности можно считать, что на окружности имеем ибо многочлен степени не выше По теореме Руше имеет в круге столько же нулей, сколько т. е. ровно