25. Вычеты.

Это звучит парадоксально, но наиболее интересными при изучении голоморфных функций являются точки, в которых функции перестают быть голоморфными — их особые точки. В дальнейшем мы будем иметь много фактов, убеждающих в том, что в особых точках и главных частях лоранов-. ских разложений в их окрестностях содержится основная информация о голоморфных функциях

Мы проиллюстрируем это утверждение задачей о вычислении интегралов от голоморфных функций. Пусть функция голоморфна в области всюду, за исключением изолированного и, следовательно, не более чем счетного множества особых точек. Пусть область и граница состоит из конечного числа непрерывных кривых и не содержит особых точек; особые точки, попавшие в мы обозначим

(их конечное число). Построим окружности столь малого радиуса что круги ими ограниченные, не пересекаются друг с другом и содержатся в Пусть ориентированы против часовой стрелки (рис. 38). Обозначим область через функция голоморфна в следовательно, по интегральной теореме Коши для многосвязных областей

Рис. 38.

Но ориентированная граница состоит из и ориентированных отрицательно окружностей и по свойствам интегралов мы получаем

Таким образом, вычисление интеграла от голоморфной функции по границе области сводится к вычислению ее интегралов по сколь угодно малым окружностям с центрами в особых точках функции.

Определение 1. Интеграл от функции по достаточно малой окружности с центром в изолированной особой точке этой функции, деленный на называется вычетом в точке а и обозначается символом

По теореме о неизменности интеграла при гомотопной деформации контура вычет не зависит от величины достаточно малых) и определяется локальным поведением в ее особой точке.

Доказанное выше соотношение (2) выражает так называемую теорему Коши о вычетах.

Теорема 1. Пусть функция голоморфна в области всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и область а ее граница не содержит особых точек; тогда

где сумма распространяется на все особые точки функции принадлежащие

Эта теорема имеет большое принципиальное значение, ибо она сводит вычисление глобальной величины, какой является интеграл от голоморфной функции по границе области, к вычислению величин локальных — вычетов функции в ее особых точках.

Как мы сейчас увидим, вычеты функции в ее особых точках полностью определяются главными частями лорановских разложений в окрестностях этих точек. Тем самым будет установлено, что в задаче о вычислении интегралов от голоморфной функции достаточно иметь информацию лишь об ее особых точках и главных частях в них.

Теорема 2. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при минус первой степени в ее лорановском разложении в окрестности :

В проколотой окрестности точки а функция представляется рядом Лорана

причем на окружности при достаточно малых этот ряд сходится равномерно. Интегрируя ряд почленно вдоль и пользуясь ортогональностью степеней мы найдем

Вспоминая определение вычета, получим (5)

Следствие. В устранимой точке вычет функции равен нулю.

Приведем формулы для вычисления вычета функции в полюсе. Пусть сначала — полюс первого порядка. Лорановское разложение функции в его окрестности имеет вид

Отсюда сразу получается формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:

Особенно удобна для вычислений небольшая модификация этой формулы. Пусть в окрестности точки

где голоморфны в , причем (отсюда следует, что — полюс первого порядка функции ). Тогда по формуле (6)

т. е.

Пусть теперь имеет в точке а полюс порядка; тогда в проколотой окрестности а

Умножим обе части этого разложения на для устранения отрицательных степеней в правой части, затем продифференцируем раз (чтобы выделить справа ) и перейдем к пределу при Мы получим формулу для вычисления вычета в полюсе порядка:

Для вычисления вычетов в существенно особых точках аналогичных формул не существует, и надо находить главные части лорановского разложения.

Несколько слов о вычете в бесконечности.

Определение 2. Пусть функция имеет своей изолированной особой точкой; ее вычетом в бесконечности называется величина

где окружность достаточно большого радиуса, проходимая по часовой стрелке.

Ориентация выбрана так, чтобы во время ее обхода окрестность бесконечной точки оставалась слева. Напишем разложение Лорана функции в этой окрестности:

Интегрируя его почленно вдоль и пользуясь ортогональностью степеней, мы найдем

Члены с отрицательными степенями входят в правильную, а не в главную часть лорановского разложения в бесконечности. Поэтому, в отличие от конечных точек, вычет в бесконечности может быть не равным нулю и в том случае, когда является правильной точкой функции.

Приведем еще простую теорему о полной сумме вычетов.

Теорема 3. Пусть функция голоморфна всюду в плоскости С, за исключением конечного числа точек ; тогда сумма ее вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю:

Построим окружность столь большого радиуса, что она содержит внутри все конечные особые точки пусть ориентирована против часовой стрелки. По теореме Коши о вычетах

по теореме о гомотопии величина в левой части равенства не меняется при дальнейшем увеличении следовательно, эта величина равна вычету в бесконечности, взятому со знаком минус (учтите направление обхода). Таким образом, последнее равенство равносильно (10)

Пример. При вычислении интеграла

нет нужды вычислять вычеты подинтегральной функции во всех ее восьми полюсах второго порядка, лежащих внутри окружности . К этой функции

применима теорема о полной сумме вычетов, по которой

Но функция имеет в бесконечности нуль шестнадцатого порядка, поэтому ее лорановское разложение в окрестности содержит лишь отрицательные степени, начиная с Поэтому ее вычет в бесконечности равен 0, следовательно, равна нулю и сумма вычетов в конечных особых точках, т. е.

В заключение приведем пример применения теоремы Коши о вычетах к вычислению несобственных интегралов от функций действительного переменного. Вычислим интеграл вдоль действительной оси

где t - действительное число (он абсолютно сходится, ибо мажорируется сходящимся интегралом от функции

Рис. 39.

Методика применения вычетов такова. Продолжаем подинтегральную функцию в комплексную плоскость

затем выбираем замкнутый контур так, чтобы он содержал отрезок прямой интегрирования и какую-либо дугу, соединяющую концы отрезка. К этому замкнутому контуру применяется теорема Коши о вычетах, а затем делается предельный переход при Если при этом удастся вычислить предел интеграла по дополнительной дуге, то задача будет решена.

Пусть учитывая, что мы будем различать два случая: и . В первом случае мы замкнем отрезок верхней полуокружностью проходимой против часовой стрелки (рис. 39). При внутри образовавшегося контура лежит один полюс первого порядка вычет в котором легко находится по формуле (6):

По теореме Коши о вычетах имеем, следовательно,

Так, как при на имеем то для интеграла по справедлива оценка

из которой видно, что этот интеграл стремится к нулю при Поэтому, переходя в (12) к пределу при мы получаем при

При оценка (13) несправедлива, ибо сильно возрастает при Поэтому мы заменим дугу дугой нижней полуокружности (рис. 39). Пусть она проходится по часовой стрелке, тогда по теореме Коши о вычетах при

Так как при на имеем то интеграл от по также стремится к нулю при и из в пределе получим

Объединяя формулы (14) и получаем окончательный результат:

В дальнейшем мы не раз будем пользоваться вычетами для вычисления различных интегралов. Приведем в заключение лемму, полезную при таких вычислениях.

Лемма (Жордан). Пусть функция голоморфна в всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и на полуокружности стремится к нулю при по последовательности такой, что не содержат особых точек Тогда для любого

стремится к нулю при (или по соответствующей последовательности

(Смысл леммы состоит в том, что может стремиться к нулю сколь угодно медленно, так что интеграл от по не обязан стремиться к нулю; умножение на экспоненту убыстряет стремление к нулю.)

Обозначим через правую половину . В силу выпуклости синуса при у имеем значит, на справедлива оценка Поэтому

и интеграл стремится к нулю при Оценка для проводится аналогично

Как видно из доказательства, условие голоморфности в этой теореме не существенно.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)