§ 17. Инвариантная метрика

В этом последнем параграфе мы рассмотрим основные вопросы, связанные с так называемой кернфункцией, которая была введена С. Бергманом и оказалась весьма полезной в ряде задач теории функций.

51. Кернфункция.

Рассмотрим произвольную область и обозначим через совокупность всех функций для которых конечна норма

где элемент объема в и интеграл понимается как несобственный.

Совокупность образует гильбертово пространство со скалярным произведением

Из неравенства Буняковского-Шварца следует, что это произведение конечно для всех Из этого же неравенства обычным образом получается неравенство треугольника: для всех

причем знак равенства здесь достигается лишь в том случае, когда либо либо где

Отметим еще локальную оценку через норму этой функции в если поликруг то для любой

Для доказательства подставим в тейлоровское разложение с центром и проинтегрируем почленно, вводя

в каждой плоскости полярные координаты

так как члены полученного ряда неотрицательны, то

Фиксируем точку и поставим следующую вариационную задачу:

Среди всех функций нормированных условием найти ту, которая реализует минимум

Мы обозначим

Теорема 1. Если класс непуст, то в нем существует единственная функция решающая поставленнуш задачу.

а) Существование. Пусть

(по условию эта величина конечна) и минимизирующая последовательность, т. е. такая последовательность что Так как ограничена, то в силу оценки (4) семейство функций локально равномерно ограничено в каждой точке По теореме Монтеля (см. п. 37 ч. I; доказательство этой теоремы без труда переносится на функции нескольких переменных) отсюда следует, что это семейство компактно, т. е. из него можно выделить последовательность сходящуюся равномерно в каждой к функции Очевидно, и

а следовательно, и . Так как то отсюда следует, что

б) Единственность. Пусть есть еще функция для которой Тогда так как то

— мы воспользовались неравенством треугольника. Так как в этом неравенстве имеет место знак равенства и то где а 0. Поэтому

значит,

Мы будем называть из теоремы 1 экстремальной функцией и обозначим

Рассмотрим теперь в области произвольную полную ортенормальную систему функций Под ортонормальностью понимается свойство при при а полнота означает, что любая функция представляется рядом

где сходящимся к в среднем, т. е. в смысле нормы (1). Заметим, что в нашем случае из оценки (4) вытекает и равномерная сходимость ряда (6) в каждой Напомним еще, что условие полноты ортонормальной системы выражается равенством Парсеваля:

где

Обычным для анализа образом доказывается, что в каждой ограниченной области полные ортонормальные системы из существуют, в неограниченных областях такие системы могут не существовать (например, их не существует в Поэтому в дальнейшем области, где существуют такие системы, мы будем называть областями ограниченного вида.

Лемма. Для любой ортонормальной системы ряд сходится в любой точке

Пусть любое натуральное число; пользуясь ортонормальностью и неравенством (4), находим

откуда

Теорема 2. В любой полной ортонормальной системе экстремальная функция представляется рядом

Обозначим (по лемме этот ряд сходится). Пусть -произвольная функция из Яцфц ее разложение. Определим числа а Равенна ствами

и заметим, что условие влечет за собой соотношение . С учетом этого соотношения равенство Парсеваля (7) примет вид

Отсюда видно, что минимально возможное значение в классе равное получится в том и только том случае, когда все . Таким образом, при мы имеем

где это совпадает с (8)

Определение. Функция

где — экстремальная функция, называется кернфункцией области относительно точки

Следствие. В любой области ограниченного вида кернфункция относительно любой точки существует.

Из теоремы 2 видно, что в любой полной ортонормальной системе кернфункция представляется разложением

(мы положили Так как это разложение (при фиксированной сходится равномерно в любой то по теореме Вейерштрасса кернфункция голоморфна в относительно своей первой координаты Из соотношения

которое вытекает из (10), видно также, что она антиголоморфна в относительно второй координаты .

Кернфункция обладает интересным воспроизводящим свойством: для любой и любой точки

Для доказательства достаточно подставить в правую часть разложения и К по произвольной полной ортонормальной системе пользуясь равномерной и абсолютной

сходимостью разложений в любой проинтегрировать почленно; учитывая еще ортонормальность системы, мы получим

Формула (10) позволяет явно вычислять кернфункцию простейших областей. Приведем несколько примеров.

а) Поликруг Полной ортонормальной системой здесь будет система нормированных мономов

где коэффициенты выбираются из условия

Вводя в каждой плоскости полярные координаты находим из этого условия

или

Полнота системы (13) следует из того, что рядом по этой системе является ряд Тейлора, а им представляется любая функция ортонормальность ее очевидна. По формуле (10) имеем, следовательно,

Положим тогда

Так как у нас то и можно переставить порядок суммирования и Дифференцирования; мы получим

Подставляя значения находим окончательно

б) Шар Полной ортонормальной системой здесь опять будет система мономов (13), но условия нормировки дадут

(для вычисления интеграла по В надо ввести полярные координаты в По формуле (10) получим

Теперь заметим, что внутренняя сумма

и что

для всех Так как у нас то по модулю меньше 1 и, следовательно,

Замечание. Формула (14) показывает, что кернфункция поликруга который является произведением кругов равна произведению кернфункций этих кругов: Можно доказать, что и вообще кернфункция произведения областей равна произведению кернфункций этих областей:

(см. Б. Д. Фукс, стр. 91).

Особо выделяется кернфункция

которая, как следует из (9), положительна в каждой точке области ограниченного вида, ибо она является обратной величиной минимума в классе всех функций для которых

Очевидно, можно не накладывать условия и тогда будет

Поэтому для любой мы имеем

а так как нижняя грань достигается, то существует функция для которой

эта функция также называется экстремальной.

Теорема 3. В любой области ограниченного вида функция является плюрисубгармонической.

Так как то плюрисубгармоничны в (см. задачу 24 к гл. III). Но по доказанному выше ряд (16) сходится равномерно в любой следовательно, его сумма также плюрисубгармонична

В следующем пункте мы убедимся в том, что она и строго плюрисубгармонична. По теореме 2 п. 25 из этого вытекает, что если для некоторого множество

компактно принадлежит то каждая связная компонента этого множества является областью голоморфности. Отсюда как и в п. 25, выводится

Теорема 4. Если область ограниченного вида и для каждого множество то является областью голоморфности.

Заметим, что в силу субгармоничности функция К не может достигать максимума во внутренней точке области. Условие теоремы 4 состоит в том, что кернфункция равномерно стремится к бесконечности при приближении к границе области теорема утверждает, что это условие достаточно для того, чтобы была областью голоморфности.

Отметим, наконец, что, как видно из формулы (15), для шара функция

растет при приближении к любой точке границы с одинаковой скоростью где расстояние до границы. Из формулы (14) мы видим, что для поликруга, напротив, функция

растет по-разному при приближении к различным точкам Быстрее всего скоростью она растет при приближении к остову, Который является границей Шилова поликруга.