ГЛАВА II. СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

В этой главе мы рассмотрим важнейшие методы исследования голоморфных функций. Они основаны на представлении таких функций в виде специальных интегралов (интегралов Коши) или в виде сумм некоторых рядов (рядов Тейлора и Лорана). Начнем с понятия интеграла от функций комплексного переменного.

§ 4. Интеграл

14. Понятие интеграла.

Определение. Пусть дан путь у класса т. е. непрерывно дифференцируемое отображение где отрезок действительной оси (см. п. 3). Пусть на образе этого пути который мы также будем обозначать через у. задана комплексная функция такая, что функция непрерывна на (в этом случае мы просто будем говорить, что непрерывна на Будем называть интегралом от функции вдоль пути у число

где в правой части интеграл от комплексной функции действительного переменного понимается как соответствующая линейная комбинация интегралов от действительной и мнимой частей.

Определение без всяких изменений распространяется на кусочно непрерывно дифференцируемые пути.

Примеры. 1. Пусть у — окружность где произвольное целое число. По определению (1)

при имеем

при

Таким образом, целые степени обладают свойством «ортогональности»

которым мы будем неоднократно пользоваться.

2. Пусть у — произвольный путь класса с концами в точках тогда

В самом деле,

Аналогично

Мы видим, что интегралы (3) не зависят от вида пути и вполне определяются его начальной и конечной точками. По любому замкнутому пути эти интегралы равны нулю.

Замечание. В принятых нами в определении условиях на путь и функцию интеграл (1) всегда существует (как интеграл от непрерывной функции) и может пониматься в смысле Римана. Если путь у лишь спрямляем, то даже для непрерывных функций требуется более общее понятие интеграла, ибо в правой части (1) множитель существует лишь почти всюду. Поэтому в случае спрямляемых путей нужно пользоваться интегралом Лебега (и тогда естественно считать функцию такой, что суммируема на

Перечислим основные свойства интеграла от комплексных функций.

1°. Линейность. Если непрерывны на пути то для любых комплексных постоянных

Следует непосредственно из определения.

2°. Аддитивность. Пусть даны два пути определенные соответственно функциями и причем Объединением этих путей назовем кусочно непрерывно дифференцируемый путь определяемый функцией

Пусть на задана непрерывная функция непосредственно из определения интеграла следует, что

Замечание. Можно обобщить понятие объединения путей, отказавшись от условия на расположение отрезков и и от условия Тогда уже, вообще говоря, не будет путем; в этом случае мы сохраним свойство (5) по определению (положив интеграл по равным сумме интегралов по

3°. Инвариантность относительно замены параметра. Теорема 1. Пусть путь те получается из гладкого пути допустимой заменой параметра Тогда для любой функции непрерывной на (а следовательно, и на ),

По определению

Сделаем в правой части замену переменных которая связывает параметры на наших путях. По теореме из

действительного анализа (примененной отдельно к действительной и отдельно к мнимой части интеграла) и правилу дифференцирования сложных функций получим тогда

Интеграл справа — это интеграл от вдоль пути

Из этой теоремы можно сделать важный вывод: интеграл, введенный нами для пути, имеет смысл и для кривой, под которой мы понимаем класс эквивалентных путей (см. п. 3). Точнее, для любого пути, определяющего некоторую гладкую кривую, интеграл от функции, непрерывной вдоль этого пути, имеет одно и то же значение.

В соответствии со сказанным в п. 3 мы будем часто в дальнейшем понимать под кривой множество точек комплексной плоскости — образ отрезка для любого пути, определяющего эту кривую. Тогда мы будем говорить и об интеграле по этому множеству, понимая под ним интеграл вдоль соответствующей кривой.

Замечание. Теорема 1 сохраняется и для функций, суммируемых на спрямляемых путях, если допустимой считать монотонную абсолютно непрерывную замену параметра (в самом деле, тогда можно воспользоваться теоремой о замене переменных для интеграла Лебега). Поэтому имеет смысл и понятие интеграла вдоль спрямляемой кривой.

4°. Ориентированность. Обозначим через путь, который получается из пути класса заменой переменных (т. е. путь ), и пусть функция, непрерывная на у; тогда

Это утверждение доказывается так же, как теорема 1.

Мы будем говорить, что путь получается из у переменой ориентации.

5°. Оценка интеграла. Теорема 2. Для любой функции непрерывной на гладком пути справедливо неравенство

где элемент длины у и справа стоит криволинейный интеграл по дуге.

Обозначим через величину интеграла от по у, и пусть имеем

(мы внесли постоянный множитель под знак интеграла). Так как интеграл справа — действительное число, то

Следствие. Если в условиях предыдущей теоремы всюду на у, где некоторая постоянная, то

(через мы обозначаем длину пути

Неравенство (9) получается из (8), если оценить интеграл в правой части и заметить, что