§ 15. Аналитичность множества особенностей

Под особыми точками голоморфной функции понимаются граничные точки ее области голоморфности. Мы видели, что простейшие такие точки — особые точки мероморфных функций нескольких комплексных переменных — составляют аналитические множества. С другой стороны, легко построить

примеры голоморфных функций, особые точки которых образуют -мерные множества, заведомо не являющиеся аналитическими (скажем, функции или где модулярная функция из Однако в предположении, что множество особых точек не слишком массивно, мы докажем здесь его аналитичность и в общем случае. Затем мы докажем аналитичность множества так называемых существенно особых точек.

45. Аналитичность множества особых точек.

Условие не слишком большой массивности мы примем здесь в следующей форме: множество особых точек пересекается с каждой аналитической прямой, параллельной некоторому направлению (скажем, оси не более чем в одной точке. Отсюда следует, что не более чем -мерно.

Теорема 1 (Хартогс). Пусть а — особая точка функции и для каждой точки в поликруге имеется не более одной точки особой для этой функции. Тогда найдется поликруг такой, что каждой соответствует точно одно число для которого является особой точкой причем функция голоморфна в Непрерывность функции Без ограничения общности считаем Так как — единственная особая точка с проекцией , то окружность принадлежит области голоморфности Семейство кругов стремится к причем Так как содержит особую точку , то по теореме Бенке — Зоммера найдется такое, что при в круге есть хотя бы одна особая точка По условию больше одной такой точки быть не может, следовательно, функция однозначно определена в Это же рассуждение доказывает непрерывность в точке 0: у нас и для любого существует такое что при Так как за 0 можно принять любую точку из V то непрерывна во всем

б) Голоморфность функции Число можно считать столь малым, что при и тогда будет голоморфной в области Выберем число и точку тогда будет голоморфной в поликруге По нашему построению для любой точка особая для

а все точки для которых правильные, поэтому

является радиусом Хартогса функции (см. п. 26). По доказанному выше функция непрерывна в V, а так как у нас то значит, непрерывен в

Голоморфность мы выведем из доказанной в п. 26 плюрисубгармоничности функции По основной теореме Хартогса достаточно доказать голоморфность по каждому переменному в некотором круге при фиксированных Для простоты обозначений будем писать вместо и аналогично Так как субгармонична в круге и непрерывна в то

или, согласно (1),

Это неравенство справедливо для всех интегрируя его по и меняя в правой части порядок интегрирования (что, очевидно, законно), будем иметь

Известно, что интеграл

который представляет собой логарифмический потенциал с постоянной плотностью распределения на окружности постоянен в круге (см. задачу 7 к гл. V ч. I). Так как у нас при всех то мы можем, следовательно, заменить в правой части значением Но отсюда

видно, что (3), а значит и (2), для всех обращается в равенство, т. е. субгармоническая функция в точке совпадает со своей гармонической мажорантой. Отсюда следует что функция реге гармонична в круге при любом

Из (I) мы имеем

причем в силу гармоничности эта функция принадлежит классу (по переменным при любом . Составляя разность значений (4) при мы увидим, что а полагая здесь найдем, что а значит, и Остается доказать, что

Для этого воспользуемся тем, что вместе с является гармонической функцией от при любом и любом Уравнение Лапласа для имеет вид

и функция (4) должна удовлетворять ему при любых и из указанных отрезков. Подставляя сюда выражение (4) и приравнивая нулю коэффициент при мы найдем, что

при любом , откуда при Приравнивая (с учетом этого) нулю коэффициент при получим, что

при любом , следовательно, при

Таким образом, в каждой точке круга либо либо Чтобы исключить первую возможность, заменим функцией (зависимость от других переменных мы не выписываем). Она удовлетворяет всем условиям теоремы, а уравнением особой поверхности для нее вместо будет

Поэтому, повторяя наши рассуждения, мы найдем, что для в окрестности будет выполняться также одно из условий Учитывая полученный ранее вывод, найдем, что в окрестности

Справедлива и более общая

Теорема 2 (Хартогс). Пусть особая точка функции и для каждой в поликруге существует конечное число точек особых для этой функции. Тогда в некоторой окрестности а особые точки составляют аналитическое множество с уравнением

где функции голоморфны в точке а.

В п. 47 мы приведем еще один вариант теоремы об аналитичности множества особых точек.