29. Элементарные функции.

Здесь мы рассмотрим важнейшие примеры многозначных аналитических функций.

1. Корень. Под корнем степени ( — натуральное число) из понимается аналитическая функция

определяемая следующим образом. В плоскости С с выброшенной отрицательной полуосью рассмотрим функцию

(мы полагаем Она непрерывна в и взаимно однозначно отображает на сектор -плоскости комплексного переменного (рис. 50).

Рис. 50.

Так как то по правилу дифференцирования обратной функции для всех существует производная

(см. сноску на стр. 141). Поэтому пара представляет собой аналитический элемент. Аналитическую функцию, которая получается при аналитическом продолжении этого элемента, и называют корнем степени из

Такое продолжение можно описать, например, так. Рассмотрим область и в ней голоморфную функцию

Очевидно, что элементы при всех будут представлять собой аналитическое продолжение элемента непосредственное). Совокупность этих элементов и описывает нашу функцию.

Объединением областей этих элементов служит, очевидно, плоскость С с исключенными точками (это — единственные точки из С, которые принадлежат границам всех и не принадлежат ни одной

Эту же функцию можно определить и при помощи канонических элементов. Примем за начальный, например, элемент с центром в точке который состоит из круга и голоморфной в нем функции

(мы, как и в примере на стр. 149, заметили, что при положительных функция воспользовались биномиальным разложением этой действительной функции и продолжили разложение с отрезка в круг

Элемент ибо при мы имеем следовательно, а так как обе функции голоморфны в то по теореме единственности для всех По определению 3 предыдущего пункта аналитические функции, определяемые элементами совпадают.

Каждой точке аналитическая функция относит точно различных значений. В самом деле, значения всех голоморфных функций, принадлежащих элементам (ветвей нашей аналитической функции), определяются по формуле

где одно из возможных значений произвольное целое число. Положив мы видим, что все другие значения отличаются от множителями а эти множители (корни степени из 1) получаются из вектора 1 поворотами на угол, кратный т. е. имеют

различных значений. Таким образом, среди значений (6) имеется лишь различных значений которые получаются, если положить в Эти значения располагаются в вершинах правильного -угольника с центром в точке одной из вершин которого служит точка рис. 50).

В заключение несколько слов о ветвях аналитической функции в соответствии с определением под ветвью этой функции понимается любой принадлежащий ей элемент (не обязательно из числа элементов Можно также понимать под ветвью голоморфную функцию, принадлежащую этому элементу.

Рис. 5).

По теореме о монодромии ветвь можно выделить в любой односвязной области не содержащей точек Примером такой области служит плоскость с любым разрезом, соединяющим эти точки (граница области должна быть связной). На рис. 51 изображена одна из таких областей и ее образ при отображении одной из ветвей две другие ветви отображают соответственно на области полученные из поворотом на углы и

Вообще, ветвь можно выделить в любой области, которая не содержит ни одного замкнутого пути, охватывающего точку . В самом деле, при обходе таких и только таких путей величина меняется на целое кратное следовательно, аналитическое продолжение вдоль них какого-либо элемента может привести к другому элементу. В областях,

удовлетворяющих указанному условию, можно выделить различных ветвей нашей аналитической функции. Каждая из таких ветвей отличается от другой множителями и вполне характеризуется указанием области, в которой она определена, и значением в одной из точек этой области. (Например, можно говорить о ветви которая определена в плоскости С с разрезом вдоль отрицательной полуоси и которая равна при другие две ветви в этой области при принимают соответственно значения

Рис. 52.

Над корнялш можно производить действия в том смысле, какой им был придан в конце предыдущего пункта. В частности, можно рассматривать производную

которая также является аналитической функцией.

2. Логарифм комплексного переменного

можно определить аналитическим продолжением начального элемента, который состоит из области и заданной в ней функции

которая называется главной ветвью логарифма (как и выше, мы полагаем Функция (9) гомеоморфно отображает на полосу (рис. 52), а так как из свойств показательной функции следует, что

т. е. что функция (9) обратна к показательной, то по правилу дифференцирования обратных функций в каждой точке существует

Таким образом, элемент аналитический.

Аналитическое продолжение элементао можно, как и выше, определить при помощи семейства элементов которые состоят из области и голоморфной в ней функции Объединением областей этих элементов по-прежнему служит С с исключенными точками

Можно определить также при помощи канонических элементов. В качестве начального элемента можно принять круг и голоморфную в нем функцию

(которая получается аналитическим продолжением в с диаметра действительной функции Элементы эквивалентны.

Каждой точке аналитическая функция относит счетное множество значений, которые определяются по формуле

где - одно из возможных значений произвольное целое число. Все они различны и лежат на вертикальной прямой на расстоянии, целом кратном друг от друга (см. рис. 52), Все эти значения считаются логарифмами числа 20; таким образом, каждое конечное комплексное число, кроме имеет бесконечно много логарифмов.

Ветви аналитической функции так же как можно выделять в любой области которая не содержит ни одного замкнутого пути, охватывающего точку . В самом деле, продолжение вдоль такого и только такого пути может перевести канонический элемент в другой элемент с тем же центром, не равный первому. В каждой области удовлетворяющей указанному условию, можно выделить бесконечно много ветвей

которые отличаются от друга постоянными слагаемыми — целыми кратными Поэтому зетви как и однозначно определяются указанием области, в котором рассматривается ветвь, и ее значения в одной из точек.

Над логарифмом можно производить действия в смысле, указанном в . В частности, производная логарифма

оказывается функцией, голоморфной в области (все ветви логарифма имеют одну и ту же производную). Голоморфна и функция

в этом смысле можно описательно говорить, что логарифм является функцией, обратной к показательной.

Не так благополучно обстоит дело с алгебраическими действиями над логарифмами. Например, справедливое равенство

(в самом деле, в обеих его частях стоит аналитическая функция, определяемая элементом нельзя рассматривать как равенство для соответствующих значений логарифма в фиксированной точке

(в самом деле, действия над совокупностями чисел не определены, поэтому такое равенство просто не имеет смысла; если же определить эти действия «естественным» образом как действия над совокупностями, то получится неправильный результат: где произвольное целое число).

Мы закончим раздел, посвященный логарифму, упоминанием о споре, который разгорелся в 1712—1713 гг. в переписке между двумя крупнейшими математиками того времени Иоганном Бернулли и Г. Лейбницем о логарифмах отрицательных чисел. Бернулли утверждал, что они

действительны и что Вот один из его доводов в пользу этого утверждения: из равенства следует, что Лейбниц же утверждал, что логарифмы отрицательных чисел мнимы и что тождество не имеет места, в частности, Вот один из доводов Лейбница в пользу последнего утверждения: если подставить в разложение получится равенство в котором все члены справа отрицательны, и, следовательно,

В 1749 г. в спор вступил Эйлер. Он опубликовал статью, в которой утверждал, что ни один из спорщиков не прав. В частности, приведенный выше аргумент Бернулли он опровергал так. Подобным образом из равенства можно заключить, что т. е. что Но сам Бернулли открыл, что — а в последнем равенстве сомневаться нельзя, ибо, писал Эйлер, «это открытие обосновано наиболее надежными средствами анализа». Приведенный выше довод Лейбница Эйлер также не считал убедительным. Он привел следующий пример: если положить в разложении один раз а другой и сложить результаты, то получится равенство в котором левая часть равна 0, хотя, как писал Эйлер, «правая часть представляется отличной от нуля».

В упомянутой статье Эйлер предложил правильное решение спора: логарифмы отрицательных (как и других комплексных чисел) имеют бесконечное множество значений. Небезынтересна его аргументация. Значение определяется из уравнения где «бесконечно большое число» (термин и обозначение Эйлера). Отсюда получается, что ) а число — «корень с бесконечно большим показателем» — имеет бесконечно много значений, вообще говоря, комплексных.

Интересно также, что в 1761 г. Ж. Даламбер в этом споре принял сторону Бернулли против Лейбница и Эйлера.

3. Обратные тригонометрические функции просто выражаются через корни и логарифмы. Найдем такое выражение, например, для арккосинуса. Решая уравнение или или, наконец,

как квадратное уравнение относительно найдем

(мы не пишем здесь обычный знак ±, ибо по нашему определению квадратный корень и так имеет два значения). Остается заметить, что из последнего равенства

(мы ставим перед логарифмом как должны были бы, потому, что в силу соотношения изменение знака перед логарифмом сводится к изменению знака перед корнем, а последний все равно имеет два значения).

Аналогичные выражения справедливы и для других обратных тригонометрических функций, например

Формулы (15) и (16) напоминают известные формулы для обратных гиперболических функций, и это неудивительно, ибо в комплексном анализе тригонометрические функции просто связаны с гиперболическими (см. п. 13).

Обратные тригонометрические функции представляют собой аналитические функции, и в формулах (15) и (16) действия надо понимать так, как принято выше (при помощи ветвей).

4. Общая степенная функция , где а — произвольное комплексное число, определяется соотношением

и представляет собой аналитическую функцию. Для действительных показателей будем различать три случая:

а) а — целое число. В этом случае функция (17) однозначна — многозначность логарифма погашается периодичностью показательной функции. Поэтому функция голоморфна при в С (точка устранимая), а при (точка устранимая).

б) а — рациональное число (мы предполагаем, что дробь несократима). Здесь многозначность логарифма лишь частично погашается периодичностью показательной функции, и функция (17) каждому ставит в соответствие различных значений. Она совпадает с аналитической функцией

в) а — иррациональное число. Здесь различным значениям которые отличаются друг от друга на целое кратное соответствуют и различные значения Погашения, наблюдавшегося в предыдущих случаях, не происходит, и функция (17) каждому ставит в соответствие счетное множество значений.

Пусть теперь не является действительным числом. Простой подсчет

(где положено произвольное целое число) показывает, что в этом случае каждому комплексному числу функция относит счетное множество значений, модули которых образуют бесконечную в обе стороны геометрическую прогресеию со знаменателем а аргументы бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию с разностью если если

Например

5. Общая показательная функция , где а — произвольное комплексное число определяется соотношением

Этот принятый термин неправомочен. В самом деле, (19) не является функцией в обычном смысле слова, ибо принимает бесконечно много значений и поэтому (при нецелых ) многозначна. Но она не является и аналитической функцией, ибо отдельные ее элементы, которые получаются, если выбрать для лографма какое-либо из его значений, не являются аналитическим продолжением друг друга.

Таким образом, следует рассматривать как совокупность различных (целых) функций