Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Ряды Лорана и особые точкиРяды Тейлора приспособлены для представления голоморфных функций в кругах. Здесь мы рассмотрим более общие ряды по положительным и отрицательным степеням
Особенно важны разложения в кольцах с нулевым внутренним радиусом, т. е. проколотых окрестностях. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где они теряют голоморфность (особых точек). 23. Ряды Лорана.Теорема 1 (Лоран). Любую функцию
коэффициенты которого определяются по формулам
где Фиксируем произвольную точку
где окружности Для всех
сходится равномерно по
где
Второй интеграл в формуле (3) придется разлагать иначе. При всех имеем
Снова умножая ее на ограниченную функцию и интегрируя почленно вдоль у, получаем
где
Заменим теперь в формулах (6) и (7) индекс
тогда разложение (6) примет вид
Теперь подставим (4) и (6) в (3); получим нужное разложение (1):
где ряд определяется как объединение рядов (4) и (6), Остается заметить, что по теореме об инвариантности интеграла в формулах (5) и (8) окружности Определение. Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом Лорана функции Рассмотрим основные свойства рядов по целым степеням
как объединение рядов
Ряд
Ряд
Поэтому его областью сходимости является внешность круга
Число По теореме Абеля ряд (9) сходится равномерно на любом компактном подмножестве кольца V, поэтому по теореме Вейерштрасса его сумма голоморфна в Из этих замечаний сразу вытекает теорема единственности разложения функции в данном кольце в ряд по положительным и отрицательным степеням: Теорема 2. Если функция Возьмем окружность —
сходится на ней равномерно, и это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень
Проинтегрируем полученный ряд почленно вдоль у:
и воспользуемся тем, что по свойству ортогональности степеней которого
а это совпадает с (2) Теорему 2 можно сформулировать так: всякий сходящийся ряд по положительным и отрицательным степеням Формулы (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются сравнительно редко, ибо они требуют вычисления интегралов. На основании доказанной теоремы единственности для получения лорановских разложений можно использовать любой законный прием: все такие приемы приведут к одному нужному результату Пример. Функция
голоморфна в кольцах
В кольце V] слагаемые представляются такими геометрическими прогрессиями:
Поэтому в
который содержит лишь положительные степени (рядом Тейлора). В кольце
В этом кольце, следовательно,
В кольце
Следовательно, в
Отметим, что коэффициенты ряда Лорана определяются по формулам (2), которые при Неравенства Коши (для коэффициентов ряда Лорана), Пусть функция
В заключение отметим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Ряд Фурье функции
где
(мы считаем
и, подставив их в (17), найдем
где положено
Ряд
с коэффициентами
и представляет собой ряд Фурье функции Положим теперь
а его коэффициенты
Таким образом, ряд Фурье функции Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции Отметим, что, вообще говоря, даже в случае сходимости ряда Фурье к функции Пример. Пусть
Положив
она голоморфна в кольце
Заменяя здесь снова
|
1 |
Оглавление
|