§ 6. Ряды Лорана и особые точки

Ряды Тейлора приспособлены для представления голоморфных функций в кругах. Здесь мы рассмотрим более общие ряды по положительным и отрицательным степеням . Такие ряды представляют голоморфные функции в концентрических кольцах

Особенно важны разложения в кольцах с нулевым внутренним радиусом, т. е. проколотых окрестностях. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где они теряют голоморфность (особых точек).

23. Ряды Лорана.

Теорема 1 (Лоран). Любую функцию голоморфную в кольце можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда

коэффициенты которого определяются по формулам

где

Фиксируем произвольную точку и построим кольцо такое, что По интегральной формуле Коши имеем

где окружности ориентированы против часовой стрелки.

Для всех имеем поэтому геометрическая прогрессия

сходится равномерно по на Умножая ее на ограниченную функцию (что не нарушает равномерной сходимости) и интегрируя почленно вдоль получаем

где

Второй интеграл в формуле (3) придется разлагать иначе. При всех имеем поэтому мы получаем равномерно сходящуюся на у геометрическую прогрессию так:

Снова умножая ее на ограниченную функцию и интегрируя почленно вдоль у, получаем

где

Заменим теперь в формулах (6) и (7) индекс пробегающий значения индексом , пробегающим значения

(это ничего не меняет), и обозначим

тогда разложение (6) примет вид

Теперь подставим (4) и (6) в (3); получим нужное разложение (1):

где ряд определяется как объединение рядов (4) и (6), Остается заметить, что по теореме об инвариантности интеграла в формулах (5) и (8) окружности можно заменить любой окружностью где и тогда эти формулы примут вид (2)

Определение. Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом Лорана функции в кольце Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется его правильной частью, а совокупность членов с отрицательными степенями — главной частью (естественность названий выяснится в следующем пункте).

Рассмотрим основные свойства рядов по целым степеням . Как и выше, мы определим такой ряд

как объединение рядов

Ряд представляет обычный степенной ряд; его областью сходимости является круг где число определяется по формуле Коши — Адамара

Ряд представляет степенной ряд относительно переменного

Поэтому его областью сходимости является внешность круга где по формуле Коши — Адамара, примененной к ряду (12),

Число не обязано быть большим поэтому область сходимости ряда (9) может быть пустой. Однако если то областью сходимости ряда (9) будет кольцо Заметим, что множество точек сходимости ряда (9) может отличаться от V на некоторую совокупность точек, принадлежащих

По теореме Абеля ряд (9) сходится равномерно на любом компактном подмножестве кольца V, поэтому по теореме Вейерштрасса его сумма голоморфна в

Из этих замечаний сразу вытекает теорема единственности разложения функции в данном кольце в ряд по положительным и отрицательным степеням:

Теорема 2. Если функция в кольце представима рядом вида (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (2).

Возьмем окружность — Ряд

сходится на ней равномерно, и это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень

Проинтегрируем полученный ряд почленно вдоль у:

и воспользуемся тем, что по свойству ортогональности степеней все интегралы в левой части равны 0, кроме одного, для

которого и который равен Мы получим

а это совпадает с (2)

Теорему 2 можно сформулировать так: всякий сходящийся ряд по положительным и отрицательным степеням является рядом Лорана своей суммы.

Формулы (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются сравнительно редко, ибо они требуют вычисления интегралов. На основании доказанной теоремы единственности для получения лорановских разложений можно использовать любой законный прием: все такие приемы приведут к одному нужному результату

Пример. Функция

голоморфна в кольцах Для получения лорановских разложений представим эту функцию в виде

В кольце V] слагаемые представляются такими геометрическими прогрессиями:

Поэтому в функция представляется рядом

который содержит лишь положительные степени (рядом Тейлора).

В кольце первое разложение (14) продолжает сходиться, а второе нужно заменить разложением

В этом кольце, следовательно, представляется рядом Лорана

В кольце разложение (15) продолжает сходиться, а первое разложение (14) нужно заменить таким:

Следовательно, в

Отметим, что коэффициенты ряда Лорана определяются по формулам (2), которые при совпадают с интегральными формулами для коэффициентов ряда Тейлора. Повторяя в точности выкладки, проведенные в при выводе неравенств Коши для коэффициентов ряда Тейлора, мы получим

Неравенства Коши (для коэффициентов ряда Лорана), Пусть функция голоморфна в кольце и на окружности ее модуль не превосходит постоянной Тогда коэффициенты ряда Лорана функции в кольце V удовлетворяют неравенствам

В заключение отметим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Ряд Фурье функции интегрируемой на отрезке определяется как ряд

где

(мы считаем ). Такой ряд можно переписать в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера

и, подставив их в (17), найдем

где положено

Ряд

с коэффициентами

и представляет собой ряд Фурье функции записанный в комплексной форме.

Положим теперь тогда ряд (19) примет вид

а его коэффициенты

Таким образом, ряд Фурье функции записанный в комплексной форме, является рядом Лорана функции где на единичной окружности

Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции на единичной окружности является рядом Фурье функции на отрезке

Отметим, что, вообще говоря, даже в случае сходимости ряда Фурье к функции в каждой точке отрезка для соответствующего ряда Лорана может получиться так что область сходимости этого ряда Лорана окажется пустой. Лишь при весьма ограничительных условиях, наложенных на функцию соответствующий ряд имеет непустую область сходимости.

Пример. Пусть

Положив найдем соответствующую функцию

она голоморфна в кольце Как в предыдущем примере, получим ее лорановское разложение в этом кольце

Заменяя здесь снова получим разложение Фурье функции