Главная > Введение в комплексный анализ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Ряды Лорана и особые точки

Ряды Тейлора приспособлены для представления голоморфных функций в кругах. Здесь мы рассмотрим более общие ряды по положительным и отрицательным степеням . Такие ряды представляют голоморфные функции в концентрических кольцах

Особенно важны разложения в кольцах с нулевым внутренним радиусом, т. е. проколотых окрестностях. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где они теряют голоморфность (особых точек).

23. Ряды Лорана.

Теорема 1 (Лоран). Любую функцию голоморфную в кольце можно в этом кольце представить как сумму сходящегося ряда

коэффициенты которого определяются по формулам

где

Фиксируем произвольную точку и построим кольцо такое, что По интегральной формуле Коши имеем

где окружности ориентированы против часовой стрелки.

Для всех имеем поэтому геометрическая прогрессия

сходится равномерно по на Умножая ее на ограниченную функцию (что не нарушает равномерной сходимости) и интегрируя почленно вдоль получаем

где

Второй интеграл в формуле (3) придется разлагать иначе. При всех имеем поэтому мы получаем равномерно сходящуюся на у геометрическую прогрессию так:

Снова умножая ее на ограниченную функцию и интегрируя почленно вдоль у, получаем

где

Заменим теперь в формулах (6) и (7) индекс пробегающий значения индексом , пробегающим значения

(это ничего не меняет), и обозначим

тогда разложение (6) примет вид

Теперь подставим (4) и (6) в (3); получим нужное разложение (1):

где ряд определяется как объединение рядов (4) и (6), Остается заметить, что по теореме об инвариантности интеграла в формулах (5) и (8) окружности можно заменить любой окружностью где и тогда эти формулы примут вид (2)

Определение. Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (2), называется рядом Лорана функции в кольце Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется его правильной частью, а совокупность членов с отрицательными степенями — главной частью (естественность названий выяснится в следующем пункте).

Рассмотрим основные свойства рядов по целым степеням . Как и выше, мы определим такой ряд

как объединение рядов

Ряд представляет обычный степенной ряд; его областью сходимости является круг где число определяется по формуле Коши — Адамара

Ряд представляет степенной ряд относительно переменного

Поэтому его областью сходимости является внешность круга где по формуле Коши — Адамара, примененной к ряду (12),

Число не обязано быть большим поэтому область сходимости ряда (9) может быть пустой. Однако если то областью сходимости ряда (9) будет кольцо Заметим, что множество точек сходимости ряда (9) может отличаться от V на некоторую совокупность точек, принадлежащих

По теореме Абеля ряд (9) сходится равномерно на любом компактном подмножестве кольца V, поэтому по теореме Вейерштрасса его сумма голоморфна в

Из этих замечаний сразу вытекает теорема единственности разложения функции в данном кольце в ряд по положительным и отрицательным степеням:

Теорема 2. Если функция в кольце представима рядом вида (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (2).

Возьмем окружность Ряд

сходится на ней равномерно, и это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень

Проинтегрируем полученный ряд почленно вдоль у:

и воспользуемся тем, что по свойству ортогональности степеней все интегралы в левой части равны 0, кроме одного, для

которого и который равен Мы получим

а это совпадает с (2)

Теорему 2 можно сформулировать так: всякий сходящийся ряд по положительным и отрицательным степеням является рядом Лорана своей суммы.

Формулы (2) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются сравнительно редко, ибо они требуют вычисления интегралов. На основании доказанной теоремы единственности для получения лорановских разложений можно использовать любой законный прием: все такие приемы приведут к одному нужному результату

Пример. Функция

голоморфна в кольцах Для получения лорановских разложений представим эту функцию в виде

В кольце V] слагаемые представляются такими геометрическими прогрессиями:

Поэтому в функция представляется рядом

который содержит лишь положительные степени (рядом Тейлора).

В кольце первое разложение (14) продолжает сходиться, а второе нужно заменить разложением

В этом кольце, следовательно, представляется рядом Лорана

В кольце разложение (15) продолжает сходиться, а первое разложение (14) нужно заменить таким:

Следовательно, в

Отметим, что коэффициенты ряда Лорана определяются по формулам (2), которые при совпадают с интегральными формулами для коэффициентов ряда Тейлора. Повторяя в точности выкладки, проведенные в при выводе неравенств Коши для коэффициентов ряда Тейлора, мы получим

Неравенства Коши (для коэффициентов ряда Лорана), Пусть функция голоморфна в кольце и на окружности ее модуль не превосходит постоянной Тогда коэффициенты ряда Лорана функции в кольце V удовлетворяют неравенствам

В заключение отметим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Ряд Фурье функции интегрируемой на отрезке определяется как ряд

где

(мы считаем ). Такой ряд можно переписать в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера

и, подставив их в (17), найдем

где положено

Ряд

с коэффициентами

и представляет собой ряд Фурье функции записанный в комплексной форме.

Положим теперь тогда ряд (19) примет вид

а его коэффициенты

Таким образом, ряд Фурье функции записанный в комплексной форме, является рядом Лорана функции где на единичной окружности

Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции на единичной окружности является рядом Фурье функции на отрезке

Отметим, что, вообще говоря, даже в случае сходимости ряда Фурье к функции в каждой точке отрезка для соответствующего ряда Лорана может получиться так что область сходимости этого ряда Лорана окажется пустой. Лишь при весьма ограничительных условиях, наложенных на функцию соответствующий ряд имеет непустую область сходимости.

Пример. Пусть

Положив найдем соответствующую функцию

она голоморфна в кольце Как в предыдущем примере, получим ее лорановское разложение в этом кольце

Заменяя здесь снова получим разложение Фурье функции

1
Оглавление
email@scask.ru